Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

Многогранник точніше многогранна поверхня називається зги наною якщо її просторову форму можна змінити такою безперервно

Згинаний многогранник

Згинаний многогранник

Многогранник (точніше — многогранна поверхня) називається зги́наною, якщо її просторову форму можна змінити такою безперервною в часі деформацією, за якої кожна грань не змінює своїх розмірів (тобто рухається як тверде тіло), а деформація здійснюється тільки за рахунок безперервної зміни двогранних кутів. Така деформація називається безперервним згинанням многогранника.

Властивості та приклади

У теорії зги́наних многогранників відомо чимало красивих і нетривіальних тверджень. Нижче наведено найважливіші зі встановлених на сьогодні фактів, дотримуючись хронологічного порядку:

  1. Ніякий опуклий многогранник не може згинатись. Це негайно випливає з теореми Коші про однозначну визначеність опуклого многогранника, доведену в 1813 році.
  2. Перші приклади згинаних многогранників були побудовані бельгійським інженером і математиком [en] в 1897 році. Зараз їх називають [en]. Вони не тільки неопуклі, але й мають самоперетини, що не дозволяє побудувати їх картонну модель, що рухається.
  3. У 1976 році американський математик Роберт Коннеллі вперше побудував згинаний многогранник без самоперетинів.
  4. З усіх відомих на сьогоднішній день згинаних многогранників без самоперетинів найменше число вершин (дев'ять) має многогранник, побудований німецьким математиком Клаусом Штеффеном (нім. Klaus Steffen) .
  5. Відомі приклади згинаних многогранників, які є реалізаціями тора або пляшки Клейна, або взагалі двовимірної поверхні будь-якого топологічного роду.
  6. З випливає, що будь згинаний многогранник в процесі згинання зберігає так звану інтегральну середню кривину, тобто число, рівне image, де image — довжина ребра image, image — величина внутрішнього двогранного кута при ребрі image, а сума поширюється на всі ребра многогранника. Див також.
  7. Теорема : Будь-який згинаний многогранник в процесі згинання зберігає свій об'єм, тобто він буде згинатися навіть якщо його заповнити нестисливої ​​рідиною.
  8. У 2012 році, А. Гайфулліним доведено багатовимірний аналог теореми Сабітова — будь-який многогранник, що згинається, в розмірності image в процесі згинання зберігає свій об'єм.
  • image
    октаедр Брікара, що згинається, першого типу
  • image
    октаедр Брікара, що згинається, другого типу
  • image
    Згинаний многогранник Штеффена
  • image
    Розгортка згинаного многогранника Штеффена

Гіпотези

Незважаючи на значний прогрес, в теорії згинаних многогранників залишається багато невирішених проблем. Ось кілька відкритих гіпотез:

  1. многогранник Штеффена має найменше число вершин серед усіх згинаних многогранників, що не мають самоперетинів;
  2. Якщо один многогранник, який не має самоперетинів, отриманий з іншого многогранника, який також не має самоперетинів, безперервним згинанням, то ці многогранники рівноскладені, тобто перший можна розбити на скінченне число тетраедрів, кожен з цих тетраедрів незалежно від інших можна пересунути в просторі і отримати розбиття другого многогранника.

Узагальнення

Все сказане вище відносилося до многогранників в тривимірному евклідовому просторі. Однак дане вище визначення згинаного многогранника можна застосувати і до багатовимірних просторів і до неевклідових просторів, таких як сферичний простір і простір Лобачевського. Для них також відомі як нетривіальні теореми, так і відкриті запитання. Наприклад:

  1. Доведено, що в чотиривимірному евклідовому просторі, просторі Лобачевського розмірності 3 та 4, а також в сферичному просторі розмірності 3 та 4 є згинані многогранники, в той час як існування згинаних многогранників в евклідових просторах розмірності 5 і вище залишається відкритим питанням ;
  2. Доведено, що будь-який згинаний многогранник в евклідовому просторі розмірності 3 і вище зберігає свою інтегральну середню кривину в процесі згинання, але невідомо чи всякий згинаний многогранник в евклідовому просторі розмірності 4 і вище зберігає свій об'єм в процесі згинання;
  3. Доведено, що в тривимірному сферичному просторі існує згинаний многогранник, обсяг якого непостійний у процесі згинання, але не відомо чи обов'язково зберігається обсяг згинаного многогранника в тривимірному просторі Лобачевського.

Зроби сам

Зробити модель згинаного многогранника Штеффена зовсім не важко. Опишемо це процес крок за кроком.

  • Збережіть файл з розгорткою многогранника Штеффена з наведеної вище «галереї зображень».
  • Збільшите розгортку в 2-3 рази і роздрукуйте його на принтері (при цьому бажано використовувати щільний папір або напівкартон).
  • Виріжте розгортку по контуру, що складається з червоних, синіх і чорних (суцільних і пунктирних) відрізків.
  • Кілька разів перегніть папір по суцільним і пунктирним відрізкам, що залишилися на розгортці. Виконуючи наступні дії слід надавати поверхні таку форму, щоб суцільні відрізки були «гірськими хребтами» (тобто виступали з многогранника назовні), а пунктирні відрізки були «долинами» (тобто вдавалися б всередину многогранника).
  • Зігніть поверхню в просторі і склейте між собою кожні два чорних відрізка, з'єднаних на розгортці зеленої дугою кола.
  • Склейте між собою два синіх відрізка.
  • Склейте між собою два червоних відрізка.

Модель многогранника Штеффена готова.

Популярна література

  • В. А. Александров, Изгибаемые многогранные поверхности [ 9 листопада 2016 у Wayback Machine.], . 1997. No. 5. С. 112–117. Ця ж стаття перевидана в книзі під редакцією и Ю. П. Соловьёва: Современное естествознание. Энциклопедия. Т. 3: Математика и механика М.: Наука, М.: Флинта, 2000. .
  • М. Берже, Геометрія. М.: Мир, 1984. Т. 1. С. 516–517.
  • , Непрерывно изгибаемый многогранник [ 27 травня 2014 у Wayback Machine.], Квант. 1978. No. 9. С. 13—19.
  • А. И. Медяник, Модель многогранника Коннелли [ 17 вересня 2011 у Wayback Machine.], Квант. 1979. No. 7. С. 39.
  • И.Х. Сабитов,. Объёмы многогранников. — М.:МЦНМО, 2002.
  • . Математичний квітник. Збірник статей і задач = The Mathematical Gardner / Пер. с англ. ; под ред., с предисл. и прилож. И. М. Яглома. — М : Мир, 1983. — С. 105—117.

Наукова література

  • В. А. Александров, Новый пример изгибаемого многогранника, 1995. Т. 36, No 6. С. 1215–1224.
  • [en], Згинні поліедральні сфери в image, по Роберту Коннеллі, в кн. під ред. А. М. Колмогорова і С. П. Новикова: Исследования по метрической теории поверхностей. М.: Мир. 1980. С. 210–227.
  • P. Коннеллі, Про один підхід до проблеми незгинності. Там же. С. 164–209.
  • Р. Коннеллі, Деякі припущення і невирішені питання в теорії згинань. Там же. С. 228–238.
  • И. Г. Максимов, Неизгибаемые многогранники с малым количеством вершин [ 25 серпня 2014 у Wayback Machine.], 2006. Т. 12, No. 1. С. 143–165.
  • С. Н. Михалёв, Некоторые необходимые метрические условия изгибаемости подвесок, Вестник МГУ, Сер. I, 2001, No. 3, 15—21.
  • , Объём многогранника как функция его метрики [ 7 травня 2013 у Wayback Machine.], 1996. Т. 2, No. 4. С. 1235–1246.
  • , Обобщённая формула Герона — Тарталья и некоторые её следствия, 1998. Т. 189, No. 10. С. 105–134.

Примітки

  1. R. Bricard. Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé [ 17 липня 2011 у Wayback Machine.]. [en] 1897. 3. P. 113–150 (див. також англійський переклад [ 3 березня 2016 у Wayback Machine.]).
  2. R. Connelly, The rigidity of polyhedral surfaces, [en]52 (1979), no. 5, 275–283.
  3. [en], Геометрия. М.: Мир, 1984. Т. 1. С. 516–517.
  4. В. А. Александров, Новий приклад згинаного многогранника, 1995. Т. 36, No 6. С. 1215–1224.
  5. R. Alexander, Lipschitzian mappings and total mean curvature of polyhedral surfaces. I, Trans. Amer. Math. Soc. 1985. Vol. 288, no. 2, 661–678.
  6. , Обсяг многогранника як функція довжин його ребер, 1996. Т. 2, № 1. С. 305–307.
  7. Gaifullin, Alexander A. (19 жовтня 2012). Generalization of Sabitov's Theorem to Polyhedra of Arbitrary Dimensions. arXiv:1210.5408 [math]. Процитовано 28 лютого 2023.
  8. И. Г. Максимов, Неизгибаемые многогранники с малым количеством вершин [ 25 серпня 2014 у Wayback Machine.], 2006. Т. 12, No. 1. С. 143–165.
  9. Див. с. 231 книги под ред. А. Н. Колмогорова і С. П. Новикова: Исследования по метрической теории поверхностей. М.: Мир. 1980. На англійський мові ця гіпотеза була уперше опублікована у статті R. Connelly, The rigidity of polyhedral surfaces, 1979. Vol. 52. P. 275–283.
  10. , Flexible octahedra in the hyperbolic space, у книзі под ред. A. Prékopa: Non-Euclidean geometries. János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6—12, 2002. New York, NY: Springer. Mathematics and its Applications 581, 209–225 (2006).
  11. V. Alexandrov, An example of a flexible polyhedron with nonconstant volume in the spherical space, Beitr. Algebra Geom. 38, No.1, 11—18 (1997). ISSN 0138-4821.

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

Mnogogrannik tochnishe mnogogranna poverhnya nazivayetsya zgi nanoyu yaksho yiyi prostorovu formu mozhna zminiti takoyu bezperervnoyu v chasi deformaciyeyu za yakoyi kozhna gran ne zminyuye svoyih rozmiriv tobto ruhayetsya yak tverde tilo a deformaciya zdijsnyuyetsya tilki za rahunok bezperervnoyi zmini dvogrannih kutiv Taka deformaciya nazivayetsya bezperervnim zginannyam mnogogrannika Vlastivosti ta prikladiU teoriyi zgi nanih mnogogrannikiv vidomo chimalo krasivih i netrivialnih tverdzhen Nizhche navedeno najvazhlivishi zi vstanovlenih na sogodni faktiv dotrimuyuchis hronologichnogo poryadku Niyakij opuklij mnogogrannik ne mozhe zginatis Ce negajno viplivaye z teoremi Koshi pro odnoznachnu viznachenist opuklogo mnogogrannika dovedenu v 1813 roci Pershi prikladi zginanih mnogogrannikiv buli pobudovani belgijskim inzhenerom i matematikom en v 1897 roci Zaraz yih nazivayut en Voni ne tilki neopukli ale j mayut samoperetini sho ne dozvolyaye pobuduvati yih kartonnu model sho ruhayetsya U 1976 roci amerikanskij matematik Robert Konnelli vpershe pobuduvav zginanij mnogogrannik bez samoperetiniv Z usih vidomih na sogodnishnij den zginanih mnogogrannikiv bez samoperetiniv najmenshe chislo vershin dev yat maye mnogogrannik pobudovanij nimeckim matematikom Klausom Shteffenom nim Klaus Steffen Vidomi prikladi zginanih mnogogrannikiv yaki ye realizaciyami tora abo plyashki Klejna abo vzagali dvovimirnoyi poverhni bud yakogo topologichnogo rodu Z viplivaye sho bud zginanij mnogogrannik v procesi zginannya zberigaye tak zvanu integralnu serednyu krivinu tobto chislo rivne ℓ p a ℓ displaystyle sum ell pi alpha ell de ℓ displaystyle ell dovzhina rebra ℓ displaystyle ell a ℓ displaystyle alpha ell velichina vnutrishnogo dvogrannogo kuta pri rebri ℓ displaystyle ell a suma poshiryuyetsya na vsi rebra mnogogrannika Div takozh Teorema Bud yakij zginanij mnogogrannik v procesi zginannya zberigaye svij ob yem tobto vin bude zginatisya navit yaksho jogo zapovniti nestislivoyi ridinoyu U 2012 roci A Gajfullinim dovedeno bagatovimirnij analog teoremi Sabitova bud yakij mnogogrannik sho zginayetsya v rozmirnosti n 4 displaystyle n geq 4 v procesi zginannya zberigaye svij ob yem oktaedr Brikara sho zginayetsya pershogo tipu oktaedr Brikara sho zginayetsya drugogo tipu Zginanij mnogogrannik Shteffena Rozgortka zginanogo mnogogrannika ShteffenaGipoteziNezvazhayuchi na znachnij progres v teoriyi zginanih mnogogrannikiv zalishayetsya bagato nevirishenih problem Os kilka vidkritih gipotez mnogogrannik Shteffena maye najmenshe chislo vershin sered usih zginanih mnogogrannikiv sho ne mayut samoperetiniv Yaksho odin mnogogrannik yakij ne maye samoperetiniv otrimanij z inshogo mnogogrannika yakij takozh ne maye samoperetiniv bezperervnim zginannyam to ci mnogogranniki rivnoskladeni tobto pershij mozhna rozbiti na skinchenne chislo tetraedriv kozhen z cih tetraedriv nezalezhno vid inshih mozhna peresunuti v prostori i otrimati rozbittya drugogo mnogogrannika UzagalnennyaVse skazane vishe vidnosilosya do mnogogrannikiv v trivimirnomu evklidovomu prostori Odnak dane vishe viznachennya zginanogo mnogogrannika mozhna zastosuvati i do bagatovimirnih prostoriv i do neevklidovih prostoriv takih yak sferichnij prostir i prostir Lobachevskogo Dlya nih takozh vidomi yak netrivialni teoremi tak i vidkriti zapitannya Napriklad Dovedeno sho v chotirivimirnomu evklidovomu prostori prostori Lobachevskogo rozmirnosti 3 ta 4 a takozh v sferichnomu prostori rozmirnosti 3 ta 4 ye zginani mnogogranniki v toj chas yak isnuvannya zginanih mnogogrannikiv v evklidovih prostorah rozmirnosti 5 i vishe zalishayetsya vidkritim pitannyam Dovedeno sho bud yakij zginanij mnogogrannik v evklidovomu prostori rozmirnosti 3 i vishe zberigaye svoyu integralnu serednyu krivinu v procesi zginannya ale nevidomo chi vsyakij zginanij mnogogrannik v evklidovomu prostori rozmirnosti 4 i vishe zberigaye svij ob yem v procesi zginannya Dovedeno sho v trivimirnomu sferichnomu prostori isnuye zginanij mnogogrannik obsyag yakogo nepostijnij u procesi zginannya ale ne vidomo chi obov yazkovo zberigayetsya obsyag zginanogo mnogogrannika v trivimirnomu prostori Lobachevskogo Zrobi samZrobiti model zginanogo mnogogrannika Shteffena zovsim ne vazhko Opishemo ce proces krok za krokom Zberezhit fajl z rozgortkoyu mnogogrannika Shteffena z navedenoyi vishe galereyi zobrazhen Zbilshite rozgortku v 2 3 razi i rozdrukujte jogo na printeri pri comu bazhano vikoristovuvati shilnij papir abo napivkarton Virizhte rozgortku po konturu sho skladayetsya z chervonih sinih i chornih sucilnih i punktirnih vidrizkiv Kilka raziv peregnit papir po sucilnim i punktirnim vidrizkam sho zalishilisya na rozgortci Vikonuyuchi nastupni diyi slid nadavati poverhni taku formu shob sucilni vidrizki buli girskimi hrebtami tobto vistupali z mnogogrannika nazovni a punktirni vidrizki buli dolinami tobto vdavalisya b vseredinu mnogogrannika Zignit poverhnyu v prostori i sklejte mizh soboyu kozhni dva chornih vidrizka z yednanih na rozgortci zelenoyi dugoyu kola Sklejte mizh soboyu dva sinih vidrizka Sklejte mizh soboyu dva chervonih vidrizka Model mnogogrannika Shteffena gotova Populyarna literaturaV A Aleksandrov Izgibaemye mnogogrannye poverhnosti 9 listopada 2016 u Wayback Machine 1997 No 5 S 112 117 Cya zh stattya perevidana v knizi pid redakciyeyu i Yu P Solovyova Sovremennoe estestvoznanie Enciklopediya T 3 Matematika i mehanika M Nauka M Flinta 2000 ISBN 5 02 004299 4 M Berzhe Geometriya M Mir 1984 T 1 S 516 517 Nepreryvno izgibaemyj mnogogrannik 27 travnya 2014 u Wayback Machine Kvant 1978 No 9 S 13 19 A I Medyanik Model mnogogrannika Konnelli 17 veresnya 2011 u Wayback Machine Kvant 1979 No 7 S 39 I H Sabitov Obyomy mnogogrannikov M MCNMO 2002 Matematichnij kvitnik Zbirnik statej i zadach The Mathematical Gardner Per s angl pod red s predisl i prilozh I M Yagloma M Mir 1983 S 105 117 Naukova literaturaV A Aleksandrov Novyj primer izgibaemogo mnogogrannika 1995 T 36 No 6 S 1215 1224 en Zginni poliedralni sferi v E3 displaystyle E 3 po Robertu Konnelli v kn pid red A M Kolmogorova i S P Novikova Issledovaniya po metricheskoj teorii poverhnostej M Mir 1980 S 210 227 P Konnelli Pro odin pidhid do problemi nezginnosti Tam zhe S 164 209 R Konnelli Deyaki pripushennya i nevirisheni pitannya v teoriyi zginan Tam zhe S 228 238 I G Maksimov Neizgibaemye mnogogranniki s malym kolichestvom vershin 25 serpnya 2014 u Wayback Machine 2006 T 12 No 1 S 143 165 S N Mihalyov Nekotorye neobhodimye metricheskie usloviya izgibaemosti podvesok Vestnik MGU Ser I 2001 No 3 15 21 Obyom mnogogrannika kak funkciya ego metriki 7 travnya 2013 u Wayback Machine 1996 T 2 No 4 S 1235 1246 Obobshyonnaya formula Gerona Tartalya i nekotorye eyo sledstviya 1998 T 189 No 10 S 105 134 PrimitkiR Bricard Memoire sur la theorie de l octaedre articule 17 lipnya 2011 u Wayback Machine en 1897 3 P 113 150 div takozh anglijskij pereklad 3 bereznya 2016 u Wayback Machine R Connelly The rigidity of polyhedral surfaces en 52 1979 no 5 275 283 en Geometriya M Mir 1984 T 1 S 516 517 V A Aleksandrov Novij priklad zginanogo mnogogrannika 1995 T 36 No 6 S 1215 1224 R Alexander Lipschitzian mappings and total mean curvature of polyhedral surfaces I Trans Amer Math Soc 1985 Vol 288 no 2 661 678 Obsyag mnogogrannika yak funkciya dovzhin jogo reber 1996 T 2 1 S 305 307 Gaifullin Alexander A 19 zhovtnya 2012 Generalization of Sabitov s Theorem to Polyhedra of Arbitrary Dimensions arXiv 1210 5408 math Procitovano 28 lyutogo 2023 I G Maksimov Neizgibaemye mnogogranniki s malym kolichestvom vershin 25 serpnya 2014 u Wayback Machine 2006 T 12 No 1 S 143 165 Div s 231 knigi pod red A N Kolmogorova i S P Novikova Issledovaniya po metricheskoj teorii poverhnostej M Mir 1980 Na anglijskij movi cya gipoteza bula upershe opublikovana u statti R Connelly The rigidity of polyhedral surfaces 1979 Vol 52 P 275 283 Flexible octahedra in the hyperbolic space u knizi pod red A Prekopa Non Euclidean geometries Janos Bolyai memorial volume Papers from the international conference on hyperbolic geometry Budapest Hungary July 6 12 2002 New York NY Springer Mathematics and its Applications 581 209 225 2006 V Alexandrov An example of a flexible polyhedron with nonconstant volume in the spherical space Beitr Algebra Geom 38 No 1 11 18 1997 ISSN 0138 4821

Дата публікації:
Топ