Закон Стефана — Больцмана

Закон Стефана — Больцмана — інтегральний закон випромінювання абсолютно чорного тіла, який стверджує, що енергія випромінювання з одиниці площі поверхні абсолютно чорного тіла за одиницю часу пропорційна четвертому степеню ефективної температури випромінювального тіла.

Загальний вигляд

Загальна енергія теплового випромінювання з одиниці площі поверхні за одиницю часу визначається як:

${\displaystyle F=\sigma T^{4}\,\!}$,

де ${\displaystyle F}$ — потужність на одиницю площі поверхні випромінювання, а

${\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}\simeq 5,6704\cdot 10^{-8}}$ Вт/(м²·К⁴) — стала Стефана — Больцмана.

Доведення закону

енергії абсолютно чорним тілом залежно від частоти випромінювання визначається законом Планка як:

${\displaystyle B(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}},}$ де

${\displaystyle B(\nu ,T)d\nu \,}$ становить кількість випроміненої енергії з одиниці площі поверхні за одиницю часу на одиницю тілесного кута на частоті ν абсолютно чорним тілом з температурою T;

${\displaystyle h\,}$ — стала Планка;

${\displaystyle c\,}$ — швидкість світла;

${\displaystyle k\,}$ — стала Больцмана.

(Потік випромінювання) визначається через інтенсивність як ${\displaystyle F(\nu ,T)=\pi B(\nu ,T)}$.

Відповідно, щоб визначити повну енергію випромінену на всіх частотах, потрібно проінтегрувати вираз для потоку випромінювання в межах усіх можливих значень частоти:

${\displaystyle F(T)=\int _{0}^{\infty }\pi B(\nu ,T)d\nu =\int _{0}^{\infty }{\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}d\nu ={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx,}$

де виконано заміну змінної інтегрування ${\displaystyle \nu ={\frac {kTx}{h}}}$ й, відповідно, ${\displaystyle d\nu ={\frac {kT}{h}}dx}$.

Отриманий інтеграл є (табличним) і дорівнює ${\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{15}}}$, тому:

${\displaystyle F(T)={\frac {2h\pi ^{5}}{15c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}T^{4}=\sigma T^{4},}$

де ${\displaystyle \sigma \,}$ — стала Стефана — Больцмана.

Джерела

• Основні закони теплового випромінювання — Основи теплотехніки та гідравліки [ 10 серпня 2021 у Wayback Machine.]
• Закон Стефана Больцмана. Закон Віна. — studopedia.com.ua [ 10 серпня 2021 у Wayback Machine.]
• гол.ред. А. М. Прохоров. Физическая энциклопедия. — Москва : "Советская энциклопедия", 1988. — Т. 4. — С. 689-690. — .
• Stefan, J. (1879), [On the relationship between heat radiation and temperature] (PDF), Sitzungsberichte der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften (нім.), 79: 391—428, архів оригіналу (PDF) за 2 квітня 2021, процитовано 10 серпня 2021
• Boltzmann, L. (1884), Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie [Derivation of Stefan's little law concerning the dependence of thermal radiation on the temperature of the electro-magnetic theory of light], Annalen der Physik und Chemie (нім.), 258 (6): 291—294, Bibcode:1884AnP...258..291B, doi:10.1002/andp.18842580616