Завдання Вебера — одна з найвідоміших задач розміщення виробництва. Названа на честь німецького економіста Альфреда Вебера. У задачі потрібно знайти точку на площині, яка мінімізує суму цін перевезень з цієї точки в n точок споживання, де для різних точок споживання призначається ціна перевезення на одиницю відстані.
Задача Вебера узагальнює пошук геометричної медіани, для якої ціни перевезень вважаються рівними для всіх точок споживання, і задачу знаходження точки Ферма, геометричної медіани трьох точок. З цієї причини задачу іноді називають задачею Ферма — Вебера, хоча таку ж назву використовують і для задачі знаходження незваженої геометричної медіани. Задача Вебера, у свою чергу, узагальнюється задачею притягання-відштовхування, яка дозволяє від'ємні ціни, так що для деяких точок більша відстань краща.
Визначення та історія задач Ферма, Вебера та притягання–відштовхування
Задача Ферма | Задача Вебера | Задача притягання-відштовхування | |
---|---|---|---|
Сформульована | Ферма (до 1640) | Сімпсон (1750) | Тельє (1985) |
Геометричне розв'язання задачі трикутника | Торрічеллі (1645) | Сімпсон (1750) | Тельє (2013) |
Пряме чисельне розв'язання задачі трикутника | Тельє (1972) | Тельє (1972) | Тельє (1985) |
Ітеративне чисельне розв'язання задачі | Кун і Куен (1962) | Кун і Куен (1962) | Чен, Хансен, Жомар та Туй (1992) |
Задача Ферма для трикутника полягає у знаходженні такої точки D, що сума відстаней від неї до кожної трьох точок A, B і C мінімальна. Задачу сформулював знаменитий французький математик П'єр Ферма до 1640 року. Задачу можна розглядати як початок задачі розміщення виробництва. Торрічеллі знайшов геометричне розв'язання задачі близько 1645 року, але прямого чисельного розв'язання не існувало ще більше 325 років. Кун і Куен знайшли ітеративне розв'язання загальної задачі Ферма 1962 року, а 1972 року [en] знайшов пряме чисельне (тригонометричне) розв'язання трикутної задачі Ферма. Розв'язання Куна і Куена придатний для многокутників із більш ніж трьома сторонами, чого не має розв'язання Тельє з причин, пояснених далі.
Задача Вебера для трикутника полягає у знаходженні такої точки D, що сума вартостей перевезення від неї до трьох точок A, B і C мінімальна. Задача Вебера є узагальненням задачі Ферма, оскільки використовує рівні і нерівні сили притягання (див. нижче), тоді як у задачі Ферма сили однакові. Задачу для випадку трикутника вперше сформулював і розв'язав Томас Сімпсон 1750 року. Кун і Куен знайшли ітеративне розв'язання 1962 року, а розв'язання Тельє, знайдене 1972 року, застосовне як до задачі Вебера, так і до задачі Ферма. Розв'язання Куна й Куена застосовне до многокутників із більш ніж трьома сторонами.
У найпростішому випадку задача притягання-відштовхування полягає в знаходженні для трьох точок A1, A2 і R такої точки D, що прикладені до неї сили притягання точок A1 і A2 та сила відштовхування точки R компенсують одна одну. Задача узагальнює як задачу Ферма, так і задачу Вебера. Задачу сформулював і розв'язав для трикутника 1985 року Люк-Норманд Тельє. 1992 року Чен, Гансен, Жомар і Туй знайшли розв'язання задачі Тельє для многокутників із більш ніж трьома сторонами.
Геометричне розв'язання Торрічеллі задачі Ферма для трикутника
Геометричне розв'язання Еванджеліста Торрічеллі задачі Ферма для трикутника спирається на два спостереження:
1. Точка D має оптимальне положення, якщо будь-яке зрушення з цієї точки призводить до збільшення сумарної відстані до точок A, B і C, що означає, що оптимальна точка — це тільки та точка, в якій нескінченно малий зсув у напрямку до однієї з трьох точок дорівнює сумі змін до двох інших точок. Іншими словами, точка D однаково притягується точками A, B та C.
2. В опуклому чотирикутнику, вписаному в коло, протилежні кути в сумі дають 180°. Можна це сформулювати так: якщо розсікти коло хордою AB, отримаємо дуги кола, скажімо, AiB і AjB. Будь-який кут ∠AiB, що спирається на дугу AiB, однаковий для будь-якої точки i, а кут ∠AjB, що спирається на дугу AjB, однаковий для будь-якої точки j. Більш того, кути ∠AiB та ∠AjB в сумі дають 180°.
Можна довести, що з першого спостереження випливає, що в точці оптимуму кути, у вершинах трикутників, що спираються на відрізки AD, BD і CD, повинні дорівнювати 360° / 3 = 120°. З цього Торрічеллі дійшов висновку, що:
1. Якщо з трикутника ABD, кут ∠ADB якого дорівнює 120°, утворено вписаний у коло опуклий чотирикутник ABDE, кут ∠AEB трикутника ABE має дорівнювати (180° − 120°)= 60°;
2. Один зі способів отримання точки D, для якої кут ∠ADB дорівнює 120° — побудувати рівносторонній трикутник ABE (оскільки всі кути рівностороннього трикутника дорівнюють 60°), де точка E розташована поза трикутником ABC, і побудувати коло навколо цього трикутника. Тоді для всіх точок D' описаного навколо трикутника кола, що лежать усередині трикутника, кут ∠AD'B дорівнює 120°;
3. Те саме можна зробити для трикутників ACD і BCD;
4. Це приводить до побудови рівносторонніх трикутників ACF і BCG, де F і G лежать поза трикутником ABC, а також до побудови двох інших кіл навколо цих рівносторонніх трикутників. Всі три кола перетинаються в одній точці D і кути, що спираються на відрізки AD, BD і CD дорівнюватимуть 120°, що доводить оптимальність положення точки.
Геометричне розв'язання Сімпсона задачі Вебера для трикутника
Геометричний розв'язання Сімпсона так званої «задачі Вебера для трикутника» (яку сформулював Томас Сімпсон 1750 року) безпосередньо випливає з розв'язання Торрічеллі. Сімпсон і Вебер підкреслюють факт, що в задачі мінімізації перевезень вигода від наближення до точок споживання A, B чи C залежить від того, що перевозиться і за яку ціну. Отже, вигода від наближення на деяку відстань змінюється і кути ∠ADB, ∠ADC та ∠BDC більше не повинні дорівнювати 120°.
Сімпсон показав, що трикутники ABE, ACF і BCG, що будуються аналогічно розв'язанню Торрічеллі, де E, F і G розташовані поза трикутником ABC, повинні бути пропорційні силам притягання. У разі задачі Ферма трикутники були рівносторонніми, оскільки сили притягання однакові
Розв'язання таке:
1. У трикутнику ABE, що будується, сторона AB пропорційна силі притягання Cw у напрямку до C, сторона AE пропорційна силі притягання Bw у напрямку до B, а сторона BE пропорційна силі притягання Aw у напрямку до A.
2. У трикутнику BCG, що будується, сторона BC пропорційна силі тяжіння Aw у напрямку до A, сторона BG пропорційна силі тяжіння Bw у напрямку до B, а сторона CG пропорційна силі тяжіння Cw у напрямку до C;
3. Оптимальна точка D розташована на перетині двох кіл навколо побудованих трикутників ABE і BCG.
На стороні AC можна побудувати третій трикутник ACF, де F міститься поза трикутником ABC, і навколо цього трикутника можна побудувати третє коло. Це третє коло перетинає два інші кола в тій самій точці D.
Геометричне розв'язання Тельє задачі притягання-відштовхування
Для задачі притягання-відштовхування в разі трикутника існує геометричне розв'язання, відкрите відносно недавно. Воно відрізняється від двох попередніх, оскільки в цьому випадку трикутники сил, що будуються, накладаються на трикутник розміщення точок A1A2R (тут A1 і A2 — точки притягання, а R — точка відштовхування).
Розв'язання таке:
1. У трикутнику RA2H, що будується, який накладається частково на трикутник розміщення точок A1A2R, сторона RA2 пропорційна силі притягання A1w у напрямку до A1, сторона RH пропорційна силі притягання A2w у напрямку до A2, а сторона A2H пропорційна силі відштовхування Rw у напрямку R.
2. У трикутнику RA1I, що будується, який накладається частково на трикутник розміщення точок A1A2R, сторона RA1 пропорційна силі притягання A2w у напрямку до A2, сторона RI пропорційна силі притягання A1w у напрямку до A1, а сторона A1I пропорційна силі відштовхування Rw у напрямку від R;
3. Оптимальна точка D розташовується на перетині двох описаних навколо побудованих трикутників RA2H і RA1I кіл. Розв'язання не виходить, якщо одна зі сил більша за суму двох інших або якщо кути не порівнянні. У деяких випадках цих порушень немає (ніяка сила не більша за суму двох інших і кути порівнянні), але оптимальний розв'язок збігається з точкою з більшою силою тяжіння.
Тригонометричне розв'язання Тельє задач Ферма та Вебера
Понад 332 роки відокремлюють формулювання задачі Ферма для трикутника та відкриття неітеративного чисельного розв'язання, хоча геометричне розв'язання існувало майже весь цей період. Пояснюється це тим, що початки трьох векторів, спрямованих до трьох точок тяжіння, можуть не збігатися. Якщо вони збігаються і лежать в оптимальній точці P, вектори в напрямку до A, B і C і сторони трикутника точок притягання ABC утворюють шість кутів ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5 і ∠6, а три вектори утворюють кути ∠αA, ∠αB та ∠αC. Легко записати такі шість рівностей, що пов'язують шість невідомих (кути ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5 і ∠6) із шістьма відомими значеннями (кути ∠A, ∠B і ∠C задані, а значення кутів ∠αA, ∠αB і ∠αC залежить тільки від відносних значень трьох сил притягання до точок A, B і C):
- ∠1 + ∠2 = ∠C ;
- ∠3 + ∠4 = ∠A ;
- ∠5 + ∠6 = ∠B ;
- ∠1 + ∠6 + ∠αA = 180° ;
- ∠2 + ∠3 + ∠αB = 180° ;
- ∠4 + ∠5 + ∠αC = 180°.
На жаль, ця система шести рівнянь є невизначеною і можливість того, що початки трьох векторів у напрямку точок притягання не збігаються, пояснює чому. У разі розходження легко бачити, що рівняння залишаються правильними. Однак оптимальне положення точки P зникає через трикутну «дірку» всередині трикутника. Фактично, як показав Тельє (1972), ця трикутна діра має такі ж пропорції, що й «трикутники сил», які ми будували в геометричному розв'язанні Сімпсона.
Щоб розв'язати задачу, слід додати до вказаних шести рівнянь сьоме, яке має запобігти появі трикутної «дірки» в центрі трикутника точок притягання. Іншими словами, початки векторів повинні збігатися.
Розв'язання Тельє задач Ферма та Вебера для трикутника здійснюється за три кроки:
1. Визначаємо кути ∠αA, ∠αB та ∠αC, за яких три сили притягання Aw, Bw та Cw компенсують одна одну, забезпечуючи рівновагу. Для цього використовуємо такі рівняння:
- cos ∠αA = −(Bw2 + Cw2 − Aw2) / (2 Bw Cw) ;
- cos ∠αB = −(Aw2 + Cw2 − Bw2) / (2 Aw Cw) ;
- cos ∠αC = −(Aw2 + Bw2 − Cw2) / (2 Aw Bw) ;
2. Визначаємо величину кута ∠3 (ця рівність забезпечує збіг точок D та E):
- tan ∠3 = (k sin k') / (1 + k cos k') ;
де k = (CB/CA) (sin ∠αB / sin ∠αA), а k' = (∠A +∠B + ∠αC) − 180° ;
3. Розв'язуємо систему рівнянь, у якій ∠3 вже відомий:
- ∠1 + ∠2 = ∠C ;
- ∠3 + ∠4 = ∠A ;
- ∠5 + ∠6 = ∠B ;
- ∠1 + ∠6 + ∠αA = 180° ;
- ∠2 + ∠3 + ∠αB = 180° ;
- ∠4 + ∠5 + ∠αC = 180°.
Тригонометричне розв'язання Тельє задачі притягання-відштовхування
Тельє (1985) розширив задачу Ферма — Вебера для сил відштовхування. Розглянемо випадок для трикутника, в якому діють дві сили притягання A1w та A2w та одна сила відштовхування Rw. Тут, як і в попередньому випадку, можливий випадок розходження початків трьох векторів. Таким чином, розв'язання має вимагати їхнього збігу. Тригонометричне розв'язання Тельє цієї задачі таке:
1. Визначаємо кут ∠e:
- cos ∠e = −(A1w2 + A2w2 − Rw2) / (2 A1w A2w) ;
2. Визначаємо кут ∠p:
- cos ∠p = −(A1w2 + Rw2 − A2w2) / (2 A1w Rw) ;
3. Визначаємо кут ∠c:
- ∠c = 180° − ∠p ;
4. Визначаємо кут ∠d:
- ∠d = ∠e − ∠c ;
5. Визначаємо значення кута ∠3 (це рівняння вимагає збігу точок D та E):
- tan ∠3 = x/y ;
де x = sin ∠f — (RA1/RA2)(sin ∠d sin [∠e − ∠b] / sin ∠c) ; і y = (RA1/RA2)(sin ∠d cos [∠e − ∠b] / sin ∠c) − cos ∠f ;
6. Визначаємо кут ∠1:
- ∠1 = 180° − ∠e − ∠3 ;
7. Визначаємо кут ∠5:
- ∠5 = 180° − ∠b − ∠c − ∠1 ;
8. Визначаємо кут ∠2:
- ∠2 = ∠a − ∠5.
Ітеративне розв'язання задач Ферма, Вебера та притягання-відштовхування
Якщо число сил більше трьох, неможливо визначити кути без розгляду геометрії многокутника точок притягання. Геометричні та тригонометричні методи безсилі. У таких випадках використовують ітеративні оптимізаційні методи. Кун і Куен (1962) запропонували алгоритм, заснований на [en], що узагальнює алгоритм Вайсфельда для незваженої задачі. Їхній метод працює для задач Ферма та Вебера, в яких є багато сил, але не для задач притягання-відштовхування. У цьому методі для знаходження наближення до точки y, яка мінімізує зважену суму відстаней
береться початковий розв'язок y0 і на кожному кроці алгоритм наближається до оптимального розв'язку вибором yj+1, яке мінімізує зважену суму відстаней
- ,
де початкові ваги wi діляться на відстань від точки до наближення попереднього кроку. Кожне наступне наближення можна отримати як зважене середнє єдиного оптимального розв'язку зваженого методу найменших квадратів:
Для задачі притягання-відштовхування можна скористатися алгоритмом, який запропонували Чен, Гансен, Жомар і Туй (1992).
Інтерпретація теорії вартості землі у світлі задачі тяжіння-відштовхування
У світі економічної теорії використання простору сили відштовхування всюдисущі. Гарним прикладом є вартість землі. Значну частину теорії вартості землі, як сільської, так і міської, можна підсумувати так.
У випадку, коли всіх приваблює єдина точка тяжіння (сільський ринок або центральний діловий район міста), змагання різних учасників торгів, які бажають розміститися в центрі, утворює ціну землі, яка перетворює точку притягання системи на точку відштовхування, що визначається високою вартістю землі, і кожен житель і ділова активність розміщується в точці, де сили притягання та відштовхування компенсуються.
Задача притягання-відштовхування та нова економічна географія
Оттавіно і Тісс (2005) розглядають задачу Тельє як прелюдію «нової економічної географії» (НЕГ), розробленої в 1990-х роках, за яку Пол Круґман 2008 року отримав Нобелівську премію з економіки. Концепція сил притягання споріднена з концепцією агломерації або відцентрових сил НЕГ, а концепція сил відштовхування споріднена з концепцією розосередження або відцентрових сил.
Примітки
- Kuhn, Kuenne, 1962, с. 21–34.
- Tellier, 1972, с. 215–233.
- Simpson, 1750.
- Weber, 1922.
- Тут йдеться про сили, не аналогічні гравітаційним чи електричним, оскільки ці сили не залежать від відстані.
- Tellier, 1985.
- Tellier, 2013.
- Chen, Hansen, Jaumard, Tuy, 1992, с. 467–486.
- Ottaviano, Thisse, 2005, с. 1707–1725.
Література
- Pey-Chun Chen, Pierre Hansen, Brigitte Jaumard, Hoang Tuy. Weber's Problem with Attraction and Repulsion // Journal of Regional Science. — 1992. — Вип. 32.
- Harold W. Kuhn, Robert E. Kuenne. An Efficient Algorithm for the Numerical Solution of the Generalized Weber Problem in Spatial Economics // Journal of Regional Science. — 1962. — Вип. 4.
- Gianmarco Ottaviano, Jacques-François Thisse. New Economic Geography: what about the N? // Environment and Planning A. — 2005. — Вип. 37.
- Thomas Simpson. The Doctrine and Application of Fluxions. — London, 1750.
- Luc-Normand Tellier, Boris Polanski. The Weber Problem: Frequency of Different Solution Types and Extension to Repulsive Forces and Dynamic Processes // Journal of Regional Science. — 1989. — Т. 29, вип. 3. — С. 387–405.
- Luc-Normand Tellier. The Weber Problem: Solution and Interpretation // Geographical Analysis. — 1972. — Т. 4, вип. 3.
- Luc-Normand Tellier. Économie spatiale: rationalité économique de l'espace habité. — Chicoutimi : Gaëtan Morin éditeur, 1985.
- Luc-Normand Tellier. Sciences du territoire II : methodologies / Marc-Urbain Proulx. — Québec : Presses de l’Université du Québec, 2013.
- Alfred Weber. Über den Standort der Industrien. — Tübingen : J.C.B. Mohr, 1922.
- Alfred Weber. The Theory of the Location of Industries. — Chicago : Chicago University Press, 1929. — переклад англійською
- Georges Wesolowski. The Weber problem: History and perspective // Location Science. — 1993. — Т. 1. — С. 5–23.
Посилання
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Вебера Задача Вебера, Математична енциклопедія, , ISBN
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Zavdannya Vebera odna z najvidomishih zadach rozmishennya virobnictva Nazvana na chest nimeckogo ekonomista Alfreda Vebera U zadachi potribno znajti tochku na ploshini yaka minimizuye sumu cin perevezen z ciyeyi tochki v n tochok spozhivannya de dlya riznih tochok spozhivannya priznachayetsya cina perevezennya na odinicyu vidstani Zadacha Vebera uzagalnyuye poshuk geometrichnoyi mediani dlya yakoyi cini perevezen vvazhayutsya rivnimi dlya vsih tochok spozhivannya i zadachu znahodzhennya tochki Ferma geometrichnoyi mediani troh tochok Z ciyeyi prichini zadachu inodi nazivayut zadacheyu Ferma Vebera hocha taku zh nazvu vikoristovuyut i dlya zadachi znahodzhennya nezvazhenoyi geometrichnoyi mediani Zadacha Vebera u svoyu chergu uzagalnyuyetsya zadacheyu prityagannya vidshtovhuvannya yaka dozvolyaye vid yemni cini tak sho dlya deyakih tochok bilsha vidstan krasha Viznachennya ta istoriya zadach Ferma Vebera ta prityagannya vidshtovhuvannyaZadacha Ferma Zadacha Vebera Zadacha prityagannya vidshtovhuvannya Sformulovana Ferma do 1640 Simpson 1750 Telye 1985 Geometrichne rozv yazannya zadachi trikutnika Torrichelli 1645 Simpson 1750 Telye 2013 Pryame chiselne rozv yazannya zadachi trikutnika Telye 1972 Telye 1972 Telye 1985 Iterativne chiselne rozv yazannya zadachi Kun i Kuen 1962 Kun i Kuen 1962 Chen Hansen Zhomar ta Tuj 1992 Zadacha Ferma dlya trikutnika polyagaye u znahodzhenni takoyi tochki D sho suma vidstanej vid neyi do kozhnoyi troh tochok A B i C minimalna Zadachu sformulyuvav znamenitij francuzkij matematik P yer Ferma do 1640 roku Zadachu mozhna rozglyadati yak pochatok zadachi rozmishennya virobnictva Torrichelli znajshov geometrichne rozv yazannya zadachi blizko 1645 roku ale pryamogo chiselnogo rozv yazannya ne isnuvalo she bilshe 325 rokiv Kun i Kuen znajshli iterativne rozv yazannya zagalnoyi zadachi Ferma 1962 roku a 1972 roku en znajshov pryame chiselne trigonometrichne rozv yazannya trikutnoyi zadachi Ferma Rozv yazannya Kuna i Kuena pridatnij dlya mnogokutnikiv iz bilsh nizh troma storonami chogo ne maye rozv yazannya Telye z prichin poyasnenih dali Zadacha Vebera dlya trikutnika polyagaye u znahodzhenni takoyi tochki D sho suma vartostej perevezennya vid neyi do troh tochok A B i C minimalna Zadacha Vebera ye uzagalnennyam zadachi Ferma oskilki vikoristovuye rivni i nerivni sili prityagannya div nizhche todi yak u zadachi Ferma sili odnakovi Zadachu dlya vipadku trikutnika vpershe sformulyuvav i rozv yazav Tomas Simpson 1750 roku Kun i Kuen znajshli iterativne rozv yazannya 1962 roku a rozv yazannya Telye znajdene 1972 roku zastosovne yak do zadachi Vebera tak i do zadachi Ferma Rozv yazannya Kuna j Kuena zastosovne do mnogokutnikiv iz bilsh nizh troma storonami U najprostishomu vipadku zadacha prityagannya vidshtovhuvannya polyagaye v znahodzhenni dlya troh tochok A1 A2 i R takoyi tochki D sho prikladeni do neyi sili prityagannya tochok A1 i A2 ta sila vidshtovhuvannya tochki R kompensuyut odna odnu Zadacha uzagalnyuye yak zadachu Ferma tak i zadachu Vebera Zadachu sformulyuvav i rozv yazav dlya trikutnika 1985 roku Lyuk Normand Telye 1992 roku Chen Gansen Zhomar i Tuj znajshli rozv yazannya zadachi Telye dlya mnogokutnikiv iz bilsh nizh troma storonami Geometrichne rozv yazannya Torrichelli zadachi Ferma dlya trikutnikaGeometrichne rozv yazannya Torrichelli zadachi Ferma dlya trikutnika Geometrichne rozv yazannya Evandzhelista Torrichelli zadachi Ferma dlya trikutnika spirayetsya na dva sposterezhennya 1 Tochka D maye optimalne polozhennya yaksho bud yake zrushennya z ciyeyi tochki prizvodit do zbilshennya sumarnoyi vidstani do tochok A B i C sho oznachaye sho optimalna tochka ce tilki ta tochka v yakij neskinchenno malij zsuv u napryamku do odniyeyi z troh tochok dorivnyuye sumi zmin do dvoh inshih tochok Inshimi slovami tochka D odnakovo prityaguyetsya tochkami A B ta C 2 V opuklomu chotirikutniku vpisanomu v kolo protilezhni kuti v sumi dayut 180 Mozhna ce sformulyuvati tak yaksho rozsikti kolo hordoyu AB otrimayemo dugi kola skazhimo AiB i AjB Bud yakij kut AiB sho spirayetsya na dugu AiB odnakovij dlya bud yakoyi tochki i a kut AjB sho spirayetsya na dugu AjB odnakovij dlya bud yakoyi tochki j Bilsh togo kuti AiB ta AjB v sumi dayut 180 Mozhna dovesti sho z pershogo sposterezhennya viplivaye sho v tochci optimumu kuti u vershinah trikutnikiv sho spirayutsya na vidrizki AD BD i CD povinni dorivnyuvati 360 3 120 Z cogo Torrichelli dijshov visnovku sho 1 Yaksho z trikutnika ABD kut ADB yakogo dorivnyuye 120 utvoreno vpisanij u kolo opuklij chotirikutnik ABDE kut AEB trikutnika ABE maye dorivnyuvati 180 120 60 2 Odin zi sposobiv otrimannya tochki D dlya yakoyi kut ADB dorivnyuye 120 pobuduvati rivnostoronnij trikutnik ABE oskilki vsi kuti rivnostoronnogo trikutnika dorivnyuyut 60 de tochka E roztashovana poza trikutnikom ABC i pobuduvati kolo navkolo cogo trikutnika Todi dlya vsih tochok D opisanogo navkolo trikutnika kola sho lezhat useredini trikutnika kut AD B dorivnyuye 120 3 Te same mozhna zrobiti dlya trikutnikiv ACD i BCD 4 Ce privodit do pobudovi rivnostoronnih trikutnikiv ACF i BCG de F i G lezhat poza trikutnikom ABC a takozh do pobudovi dvoh inshih kil navkolo cih rivnostoronnih trikutnikiv Vsi tri kola peretinayutsya v odnij tochci D i kuti sho spirayutsya na vidrizki AD BD i CD dorivnyuvatimut 120 sho dovodit optimalnist polozhennya tochki Geometrichne rozv yazannya Simpsona zadachi Vebera dlya trikutnikaGeometrichne rozv yazannya Simpsona zadachi Vebera dlya trikutnika Geometrichnij rozv yazannya Simpsona tak zvanoyi zadachi Vebera dlya trikutnika yaku sformulyuvav Tomas Simpson 1750 roku bezposeredno viplivaye z rozv yazannya Torrichelli Simpson i Veber pidkreslyuyut fakt sho v zadachi minimizaciyi perevezen vigoda vid nablizhennya do tochok spozhivannya A B chi C zalezhit vid togo sho perevozitsya i za yaku cinu Otzhe vigoda vid nablizhennya na deyaku vidstan zminyuyetsya i kuti ADB ADC ta BDC bilshe ne povinni dorivnyuvati 120 Simpson pokazav sho trikutniki ABE ACF i BCG sho buduyutsya analogichno rozv yazannyu Torrichelli de E F i G roztashovani poza trikutnikom ABC povinni buti proporcijni silam prityagannya U razi zadachi Ferma trikutniki buli rivnostoronnimi oskilki sili prityagannya odnakovi Rozv yazannya take 1 U trikutniku ABE sho buduyetsya storona AB proporcijna sili prityagannya Cw u napryamku do C storona AE proporcijna sili prityagannya Bw u napryamku do B a storona BE proporcijna sili prityagannya Aw u napryamku do A 2 U trikutniku BCG sho buduyetsya storona BC proporcijna sili tyazhinnya Aw u napryamku do A storona BG proporcijna sili tyazhinnya Bw u napryamku do B a storona CG proporcijna sili tyazhinnya Cw u napryamku do C 3 Optimalna tochka D roztashovana na peretini dvoh kil navkolo pobudovanih trikutnikiv ABE i BCG Na storoni AC mozhna pobuduvati tretij trikutnik ACF de F mistitsya poza trikutnikom ABC i navkolo cogo trikutnika mozhna pobuduvati tretye kolo Ce tretye kolo peretinaye dva inshi kola v tij samij tochci D Geometrichne rozv yazannya Telye zadachi prityagannya vidshtovhuvannyaGeometrichnij rozv yazok Telye zadachi prityagannya vidshtovhuvannya Dlya zadachi prityagannya vidshtovhuvannya v razi trikutnika isnuye geometrichne rozv yazannya vidkrite vidnosno nedavno Vono vidriznyayetsya vid dvoh poperednih oskilki v comu vipadku trikutniki sil sho buduyutsya nakladayutsya na trikutnik rozmishennya tochok A1A2R tut A1 i A2 tochki prityagannya a R tochka vidshtovhuvannya Rozv yazannya take 1 U trikutniku RA2H sho buduyetsya yakij nakladayetsya chastkovo na trikutnik rozmishennya tochok A1A2R storona RA2 proporcijna sili prityagannya A1w u napryamku do A1 storona RH proporcijna sili prityagannya A2w u napryamku do A2 a storona A2H proporcijna sili vidshtovhuvannya Rw u napryamku R 2 U trikutniku RA1I sho buduyetsya yakij nakladayetsya chastkovo na trikutnik rozmishennya tochok A1A2R storona RA1 proporcijna sili prityagannya A2w u napryamku do A2 storona RI proporcijna sili prityagannya A1w u napryamku do A1 a storona A1I proporcijna sili vidshtovhuvannya Rw u napryamku vid R 3 Optimalna tochka D roztashovuyetsya na peretini dvoh opisanih navkolo pobudovanih trikutnikiv RA2H i RA1I kil Rozv yazannya ne vihodit yaksho odna zi sil bilsha za sumu dvoh inshih abo yaksho kuti ne porivnyanni U deyakih vipadkah cih porushen nemaye niyaka sila ne bilsha za sumu dvoh inshih i kuti porivnyanni ale optimalnij rozv yazok zbigayetsya z tochkoyu z bilshoyu siloyu tyazhinnya Trigonometrichne rozv yazannya Telye zadach Ferma ta VeberaKuti zadachi Vebera Vipadok rozhodzhennya vershin kutiv a Ponad 332 roki vidokremlyuyut formulyuvannya zadachi Ferma dlya trikutnika ta vidkrittya neiterativnogo chiselnogo rozv yazannya hocha geometrichne rozv yazannya isnuvalo majzhe ves cej period Poyasnyuyetsya ce tim sho pochatki troh vektoriv spryamovanih do troh tochok tyazhinnya mozhut ne zbigatisya Yaksho voni zbigayutsya i lezhat v optimalnij tochci P vektori v napryamku do A B i C i storoni trikutnika tochok prityagannya ABC utvoryuyut shist kutiv 1 2 3 4 5 i 6 a tri vektori utvoryuyut kuti aA aB ta aC Legko zapisati taki shist rivnostej sho pov yazuyut shist nevidomih kuti 1 2 3 4 5 i 6 iz shistma vidomimi znachennyami kuti A B i C zadani a znachennya kutiv aA aB i aC zalezhit tilki vid vidnosnih znachen troh sil prityagannya do tochok A B i C 1 2 C 3 4 A 5 6 B 1 6 aA 180 2 3 aB 180 4 5 aC 180 Na zhal cya sistema shesti rivnyan ye neviznachenoyu i mozhlivist togo sho pochatki troh vektoriv u napryamku tochok prityagannya ne zbigayutsya poyasnyuye chomu U razi rozhodzhennya legko bachiti sho rivnyannya zalishayutsya pravilnimi Odnak optimalne polozhennya tochki P znikaye cherez trikutnu dirku vseredini trikutnika Faktichno yak pokazav Telye 1972 cya trikutna dira maye taki zh proporciyi sho j trikutniki sil yaki mi buduvali v geometrichnomu rozv yazanni Simpsona Shob rozv yazati zadachu slid dodati do vkazanih shesti rivnyan some yake maye zapobigti poyavi trikutnoyi dirki v centri trikutnika tochok prityagannya Inshimi slovami pochatki vektoriv povinni zbigatisya Rozv yazannya Telye zadach Ferma ta Vebera dlya trikutnika zdijsnyuyetsya za tri kroki 1 Viznachayemo kuti aA aB ta aC za yakih tri sili prityagannya Aw Bw ta Cw kompensuyut odna odnu zabezpechuyuchi rivnovagu Dlya cogo vikoristovuyemo taki rivnyannya cos aA Bw2 Cw2 Aw2 2 Bw Cw cos aB Aw2 Cw2 Bw2 2 Aw Cw cos aC Aw2 Bw2 Cw2 2 Aw Bw 2 Viznachayemo velichinu kuta 3 cya rivnist zabezpechuye zbig tochok D ta E tan 3 k sin k 1 k cos k de k CB CA sin aB sin aA a k A B aC 180 3 Rozv yazuyemo sistemu rivnyan u yakij 3 vzhe vidomij 1 2 C 3 4 A 5 6 B 1 6 aA 180 2 3 aB 180 4 5 aC 180 Trigonometrichne rozv yazannya Telye zadachi prityagannya vidshtovhuvannyaKuti zadachi prityagannya vidshtovhuvannya dlya trikutnika Vipadok rozhodzhennya tochok D ta E Telye 1985 rozshiriv zadachu Ferma Vebera dlya sil vidshtovhuvannya Rozglyanemo vipadok dlya trikutnika v yakomu diyut dvi sili prityagannya A1w ta A2w ta odna sila vidshtovhuvannya Rw Tut yak i v poperednomu vipadku mozhlivij vipadok rozhodzhennya pochatkiv troh vektoriv Takim chinom rozv yazannya maye vimagati yihnogo zbigu Trigonometrichne rozv yazannya Telye ciyeyi zadachi take 1 Viznachayemo kut e cos e A1w2 A2w2 Rw2 2 A1w A2w 2 Viznachayemo kut p cos p A1w2 Rw2 A2w2 2 A1w Rw 3 Viznachayemo kut c c 180 p 4 Viznachayemo kut d d e c 5 Viznachayemo znachennya kuta 3 ce rivnyannya vimagaye zbigu tochok D ta E tan 3 x y de x sin f RA1 RA2 sin d sin e b sin c i y RA1 RA2 sin d cos e b sin c cos f 6 Viznachayemo kut 1 1 180 e 3 7 Viznachayemo kut 5 5 180 b c 1 8 Viznachayemo kut 2 2 a 5 Iterativne rozv yazannya zadach Ferma Vebera ta prityagannya vidshtovhuvannyaYaksho chislo sil bilshe troh nemozhlivo viznachiti kuti bez rozglyadu geometriyi mnogokutnika tochok prityagannya Geometrichni ta trigonometrichni metodi bezsili U takih vipadkah vikoristovuyut iterativni optimizacijni metodi Kun i Kuen 1962 zaproponuvali algoritm zasnovanij na en sho uzagalnyuye algoritm Vajsfelda dlya nezvazhenoyi zadachi Yihnij metod pracyuye dlya zadach Ferma ta Vebera v yakih ye bagato sil ale ne dlya zadach prityagannya vidshtovhuvannya U comu metodi dlya znahodzhennya nablizhennya do tochki y yaka minimizuye zvazhenu sumu vidstanej i 1 n w i x i y displaystyle sum i 1 n w i x i y beretsya pochatkovij rozv yazok y0 i na kozhnomu kroci algoritm nablizhayetsya do optimalnogo rozv yazku viborom yj 1 yake minimizuye zvazhenu sumu vidstanej i 1 n w i x i y j x i y 2 displaystyle sum i 1 n frac w i x i y j x i y 2 de pochatkovi vagi wi dilyatsya na vidstan vid tochki do nablizhennya poperednogo kroku Kozhne nastupne nablizhennya mozhna otrimati yak zvazhene serednye yedinogo optimalnogo rozv yazku zvazhenogo metodu najmenshih kvadrativ y j 1 i 1 n w i x i x i y j i 1 n w i x i y j displaystyle left y j 1 left sum i 1 n frac w i x i x i y j right right left sum i 1 n frac w i x i y j right Dlya zadachi prityagannya vidshtovhuvannya mozhna skoristatisya algoritmom yakij zaproponuvali Chen Gansen Zhomar i Tuj 1992 Interpretaciya teoriyi vartosti zemli u svitli zadachi tyazhinnya vidshtovhuvannyaU sviti ekonomichnoyi teoriyi vikoristannya prostoru sili vidshtovhuvannya vsyudisushi Garnim prikladom ye vartist zemli Znachnu chastinu teoriyi vartosti zemli yak silskoyi tak i miskoyi mozhna pidsumuvati tak U vipadku koli vsih privablyuye yedina tochka tyazhinnya silskij rinok abo centralnij dilovij rajon mista zmagannya riznih uchasnikiv torgiv yaki bazhayut rozmistitisya v centri utvoryuye cinu zemli yaka peretvoryuye tochku prityagannya sistemi na tochku vidshtovhuvannya sho viznachayetsya visokoyu vartistyu zemli i kozhen zhitel i dilova aktivnist rozmishuyetsya v tochci de sili prityagannya ta vidshtovhuvannya kompensuyutsya Zadacha prityagannya vidshtovhuvannya ta nova ekonomichna geografiyaOttavino i Tiss 2005 rozglyadayut zadachu Telye yak prelyudiyu novoyi ekonomichnoyi geografiyi NEG rozroblenoyi v 1990 h rokah za yaku Pol Krugman 2008 roku otrimav Nobelivsku premiyu z ekonomiki Koncepciya sil prityagannya sporidnena z koncepciyeyu aglomeraciyi abo vidcentrovih sil NEG a koncepciya sil vidshtovhuvannya sporidnena z koncepciyeyu rozoseredzhennya abo vidcentrovih sil PrimitkiKuhn Kuenne 1962 s 21 34 Tellier 1972 s 215 233 Simpson 1750 Weber 1922 Tut jdetsya pro sili ne analogichni gravitacijnim chi elektrichnim oskilki ci sili ne zalezhat vid vidstani Tellier 1985 Tellier 2013 Chen Hansen Jaumard Tuy 1992 s 467 486 Ottaviano Thisse 2005 s 1707 1725 LiteraturaPey Chun Chen Pierre Hansen Brigitte Jaumard Hoang Tuy Weber s Problem with Attraction and Repulsion Journal of Regional Science 1992 Vip 32 Harold W Kuhn Robert E Kuenne An Efficient Algorithm for the Numerical Solution of the Generalized Weber Problem in Spatial Economics Journal of Regional Science 1962 Vip 4 Gianmarco Ottaviano Jacques Francois Thisse New Economic Geography what about the N Environment and Planning A 2005 Vip 37 Thomas Simpson The Doctrine and Application of Fluxions London 1750 Luc Normand Tellier Boris Polanski The Weber Problem Frequency of Different Solution Types and Extension to Repulsive Forces and Dynamic Processes Journal of Regional Science 1989 T 29 vip 3 S 387 405 Luc Normand Tellier The Weber Problem Solution and Interpretation Geographical Analysis 1972 T 4 vip 3 Luc Normand Tellier Economie spatiale rationalite economique de l espace habite Chicoutimi Gaetan Morin editeur 1985 Luc Normand Tellier Sciences du territoire II methodologies Marc Urbain Proulx Quebec Presses de l Universite du Quebec 2013 Alfred Weber Uber den Standort der Industrien Tubingen J C B Mohr 1922 Alfred Weber The Theory of the Location of Industries Chicago Chicago University Press 1929 pereklad anglijskoyu Georges Wesolowski The Weber problem History and perspective Location Science 1993 T 1 S 5 23 PosilannyaHazewinkel Michiel red 2001 Vebera Zadacha Vebera Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4