Діагональна матриця

Діагональна матриця — квадратна матриця, всі недіагональні елементи якої дорівнюють нулю.

Більш формально, діагональною називають таку матрицю ${\displaystyle A}$, що ${\displaystyle \forall i\neq j:a_{ij}=0}$.

Можна також записати

${\displaystyle a_{ij}=a_{i}\delta _{ij}\,}$,

де ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера.

Одинична матриця діагональна за визначенням.

Властивості

• Сума, добуток та обернена матриця(якщо існує) діагональних матриць є діагональною матрицею. Діагональні матриці утворюють підкільце в кільці симетричних матриць:
  • ${\displaystyle \ diag(a_{1},\ldots ,a_{n})+diag(b_{1},\ldots ,b_{n})=diag(a_{1}+b_{1},\ldots ,a_{n}+b_{n})}$
  • ${\displaystyle \ diag(a_{1},\ldots ,a_{n})\cdot diag(b_{1},\ldots ,b_{n})=diag(a_{1}b_{1},\ldots ,a_{n}b_{n})}$
  • ${\displaystyle \ diag(a_{1},\ldots ,a_{n})^{-1}=diag(a_{1}^{-1},\ldots ,a_{n}^{-1})}$
• Визначник діагональної матриці дорівнює добутку всіх елементів головної діагоналі.
• В матриці ${\displaystyle \ diag(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ власними значеннями є ${\displaystyle \ a_{1},\ldots ,a_{n}}$ з власними векторами ${\displaystyle \ e_{1},\ldots ,e_{n}}$.
• Достатньою умовою приведення матриці до діагонального вигляду є попарна відмінність всіх власних значень матриці.

Застосування

• Довільна квадратна матриця є подібною до діагональної матриці тоді і тільки тоді, коли в неї всі власні вектори лінійно незалежні. Такі матриці називають діагоналізовними.

Над полем дійсних чи комплексних чисел справедливі й такі твердження:

• відповідно до спектральної теореми довільна нормальна матриця унітарно подібна до діагональної матриці

${\displaystyle \forall A\;(AA^{*}=A^{*}A)\;\;\exists U(U^{*}=U^{-1}):\;\;UAU^{*}=D}$

• відповідно до сингулярного представлення матриці для довільної матриці існують унітарні матриці U та V такі що матриця U*AV є діагональною з додатніми елементами

${\displaystyle \forall A\;\exists U,V(U^{*}=U^{-1},V^{*}=V^{-1}):\;\;U^{*}AV=D,D>0}$

Див. також

• Теорія матриць
• Спектральна теорема
• Сингулярний розклад матриці
• Нормальна матриця
• Унітарна матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)