Довжина модуля

В абстрактній алгебрі довжина модуля — числова характеристика модуля, що деякою мірою узагальнює поняття розмірності векторного простору.

Визначення

Нехай ${\displaystyle M}$ — модуль над кільцем ${\displaystyle R}$. Довжина ${\displaystyle M}$ визначається як супремум чисел ${\displaystyle n}$ для яких існує послідовність підмодулів:

${\displaystyle 0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq N_{2}\subsetneq \ldots \subsetneq N_{n}=M.}$

Довжина позначається ${\displaystyle \ell _{R}(M)}$ або ${\displaystyle \ell (M)}$.

Властивості

• Довжина нульового модуля рівна 0. Довжина інших модулів є додатнім цілим числом.
• Єдиними модулями довжина яких рівна 1 є прості модулі. В іншому випадку існує послідовність ${\displaystyle 0\subsetneq N\subsetneq M}$ і довжина модуля не менша 2.
• Модуль ${\displaystyle M}$ має скінченну довжину якщо і тільки якщо він є модулем Нетер і .
• Нехай маємо коротку точну послідовність:

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

тоді ${\displaystyle \ell (M)=\ell (M')+\ell (M'')}$.

• З попереднього випливає, що якщо N — підмодуль M то

${\displaystyle \ell (M)=\ell (N)+\ell (M/N)}$.

Також звідси випливає формула:

${\displaystyle \ell (N+P)+\ell (N\cap P)=\ell (N)+\ell (P)}$

Приклади

• Для скінченновимірних векторних просторів поняття розмірності і довжини є еквівалентними: ${\displaystyle \dim E=\ell (E)}$.
• Кільце ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, що розглядається як модуль над самим собою, має нескінченну довжину, що демонструє наступна послідовність визначена для довільного натурального числа n :

${\displaystyle 2^{n}\mathbb {Z} \subsetneq 2^{n-1}\mathbb {Z} \subsetneq \cdots \subsetneq 2\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {Z} }$

• Циклічна група ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, як ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модуль має довжину, що рівна кількості простих дільників n з урахуванням їх кратності.

Література

• Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры.-Ижевск, 1999, 348с.