Дискримінант

Дискриміна́нт, ви́ріжник (від лат. discriminar — «розбирати», «розрізняти») многочлена ${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}}$ — за визначенням це добуток

${\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}$,

де ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}}$ - всі корені (з урахуванням кратностей) в деякому розширенні основного поля, в якому вони існують.

Властивості

• Дискримінант рівний нулю т. і т. т., коли многочлен має кратні корені.
• Дискримінант є симетричним многочленом щодо коренів многочлена і тому є многочленом від його коефіцієнтів; ба більше, коефіцієнти цього многочлена цілі, тому не залежать від розширення, в якому беруться корені.
• ${\displaystyle D(p)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(p,p')}$, де ${\displaystyle R(p,p')}$ — результант многочлена ${\displaystyle p(x)}$ і його похідної ${\displaystyle p'(x)}$.
  • Зокрема, дискримінант многочлена

    ${\displaystyle p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$

    рівний, з точністю до знаку, визначникові такої матриці:

1	${\displaystyle a_{n-1}}$	${\displaystyle a_{n-2}}$	.	.	.	${\displaystyle a_{0}}$	0	.	.	.	0
0	1	${\displaystyle a_{n-1}}$	${\displaystyle a_{n-2}}$	.	.	.	${\displaystyle a_{0}}$	0	.	.	0
0	0	1	${\displaystyle a_{n-1}}$	${\displaystyle a_{n-2}}$	.	.	.	${\displaystyle a_{0}}$	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	1	${\displaystyle a_{n-1}}$	${\displaystyle a_{n-2}}$	.	.	.	${\displaystyle a_{0}}$
${\displaystyle n}$	${\displaystyle (n-1)a_{n-1}}$	${\displaystyle (n-2)a_{n-2}}$	.	.	${\displaystyle a_{1}}$	0	0	.	.	.	0
0	${\displaystyle n}$	${\displaystyle (n-1)a_{n-1}}$	${\displaystyle (n-2)a_{n-2}}$	.	.	${\displaystyle a_{1}}$	0	0	.	.	0
0	0	${\displaystyle n}$	${\displaystyle (n-1)a_{n-1}}$	${\displaystyle (n-2)a_{n-2}}$	.	.	${\displaystyle a_{1}}$	0	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	${\displaystyle n}$	${\displaystyle (n-1)a_{n-1}}$	${\displaystyle (n-2)a_{n-2}}$	.	.	${\displaystyle a_{1}}$	0
0	0	0	0	0	0	${\displaystyle n}$	${\displaystyle (n-1)a_{n-1}}$	${\displaystyle (n-2)a_{n-2}}$	.	.	${\displaystyle a_{1}}$

Примітки

1. . Архів оригіналу за 4 січня 2019.

Приклади

• Дискримінант квадратного тричлена ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ дорівнює ${\displaystyle b^{2}-4ac}$;
• Дискримінант многочлена ${\displaystyle a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$ дорівнює

${\displaystyle 4a_{1}^{3}a_{3}-a_{1}^{2}a_{2}^{2}+4a_{0}a_{2}^{3}-18a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}+27a_{0}^{2}a_{3}^{2}.}$

• Зокрема, дискримінант многочлена ${\displaystyle x^{3}+px+q}$ (корені якого обчислюється за формулою Кардано) дорівнює: ${\displaystyle -27q^{2}-4p^{3}}$.