Внутрішня теорія множин

Внутрішня теорія множин (IST) — математична теорія наборів, розвинених , яка забезпечує аксіоматичну основу для частини нестандартного аналізу, введеного . Замість того, щоб додавати нові елементи до дійсних чисел, аксіоми вводять новий термін, «стандарт», який може використовуватися, щоб зробити дискримінації неможливими під звичайними аксіомами для наборів. Таким чином «IST» — збагачення ZFC: всі аксіоми ZFC виконуються для всіх класичних предикатів, у той час як новий одномісний предикат «стандарт» задовольняє три додаткових аксіоми I, S і T. Зокрема, у підходящих нестандартних елементах в межах множини дійсних чисел, як можна показати, є властивості, які відповідають властивостям нескінченно малих і необмежених елементів.

Формулювання Нельсона зроблено більш доступно для математики, не враховуючи різні складності метаматематичної логіки, які спочатку знадобилися, щоб виправдовувати строгу послідовність нескінченно малих елементів.

Інтуїтивне виправдання

Поки у «IST» є абсолютно формальна очевидна схема, описана нижче, бажано надати інтуїтивне виправдання значення слова «стандарт». Це не частина формальної теорії, але є педагогічним пристроєм, яке могло б допомогти студенту інтерпретувати формалізм. Істотне розходження, подібне поняттю визначених чисел, протиставляє обмеженість області понять, які ми можемо визначити і обговорити з необмеженою нескінченністю набору чисел (порівняйте фінітизм).

Термін стандарт тому інтуїтивно узятий, щоб відповідати деякій обов'язково скінченній частині «доступних» цілих чисел. Фактично цей аргумент може бути застосований до будь-якого безкінечного набору об'єктів взагалі — є тільки стільки елементів, які ми можемо визначити за скінченний проміжок часу, використовуючи скінченну множину символів, і завжди є ті, які лежать за межами нашого наполегливості та витривалості, незалежно від нашої впертості. Ми повинні зізнатися в рясності нестандартних елементів в ​​межах будь-якого нескінченного набору.