У цій статті відсутні . |
Інші назви — теорема Гопфа, теорема Пуанкаре-Андронова-Гопфа. Теорема про умову виникнення біфуркації Гопфа. Теорема встановлена австрійським математиком Ебергардом Гопфом у 1942.
Розглянемо n-вимірну автономну систему диференціальних рівнянь
, (1)
що залежить від дійсного параметра . Ми припускаємо, що (1) допускає аналітичне сімейство станів рівноваги, тобто . Без обмеження загальності можна вважати, що цим сімейством є , тобто . Припустимо, що при деякому , наприклад при , матриця має два чисто уявних власних значення і не існує інших власних значень , що цілочисельно кратні . Хай є продовженням по параметру власного значення . Припустимо, що .
Теорема Гопфа. При сформульованих умовах існують неперервні функції і , що залежать від параметра , , і такі, що у рівняння (1) існують періодичні розв'язки періоду , що влипають у початок координат при .
Джерела
- Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М. : Мир, 1980. — 368 с.
- Мозер Ю., Цендер Э. Заметки о динамических системах. — Ижевск : РХД, 2011. — 356 с.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U cij statti vidsutni rozdili za temami Vi mozhete dopomogti rozbivshi tematichno pov yazani chastini statti na rozdili dlya pokrashennya chitackogo sprijnyattya Inshi nazvi teorema Gopfa teorema Puankare Andronova Gopfa Teorema pro umovu viniknennya bifurkaciyi Gopfa Teorema vstanovlena avstrijskim matematikom Ebergardom Gopfom u 1942 Rozglyanemo n vimirnu avtonomnu sistemu diferencialnih rivnyan x F x m displaystyle dot x F x mu 1 sho zalezhit vid dijsnogo parametra m displaystyle mu Mi pripuskayemo sho 1 dopuskaye analitichne simejstvo x x m displaystyle x x mu staniv rivnovagi tobto F x m m 0 displaystyle F x mu mu 0 Bez obmezhennya zagalnosti mozhna vvazhati sho cim simejstvom ye x 0 displaystyle x equiv 0 tobto F 0 m 0 displaystyle F 0 mu 0 Pripustimo sho pri deyakomu m displaystyle mu napriklad pri m 0 displaystyle mu 0 matricya Fx 0 m displaystyle F x 0 mu maye dva chisto uyavnih vlasnih znachennya ib displaystyle pm i beta i ne isnuye inshih vlasnih znachen Fx 0 0 displaystyle F x 0 0 sho cilochiselno kratni ib displaystyle i beta Haj a m ib m displaystyle alpha mu i beta mu ye prodovzhennyam po parametru vlasnogo znachennya ib displaystyle i beta Pripustimo sho a 0 0 displaystyle alpha 0 neq 0 Teorema Gopfa Pri sformulovanih umovah isnuyut neperervni funkciyi m m ϵ displaystyle mu mu epsilon i T T ϵ displaystyle T T epsilon sho zalezhat vid parametra ϵ displaystyle epsilon m 0 0 displaystyle mu 0 0 T 0 2pb 1 displaystyle T 0 2 pi beta 1 i taki sho u rivnyannya 1 isnuyut periodichni rozv yazki x t ϵ displaystyle x t epsilon periodu T ϵ displaystyle T epsilon sho vlipayut u pochatok koordinat pri ϵ 0 displaystyle epsilon to 0 DzherelaMarsden Dzh Mak Kraken M Bifurkaciya rozhdeniya cikla i ee prilozheniya M Mir 1980 368 s Mozer Yu Cender E Zametki o dinamicheskih sistemah Izhevsk RHD 2011 356 s Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi