Борнівське наближення

Бо́рнове набли́ження — метод розв'язку квантово-механічної задачі розсіювання часток, який зводиться до заміни невідомої хвильової функції в правій частині рівняння Шредінгера в інтегральній формі на відомий вираз.

Наприклад, при розгляді розсіювання безспінових часток, які взаємодіють через потенціал ${\displaystyle V(r)\,}$ стаціонарне рівняння Шредінгера можна переписати у вигляді

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-{\frac {\mu }{2\pi \hbar ^{2}}}\int {\frac {\exp(ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|}}V(r^{\prime })\psi (\mathbf {r} ^{\prime })d^{3}r^{\prime }}$,

де ${\displaystyle \mu }$ — зведена маса, ${\displaystyle \hbar }$ — приведена стала Планка, ${\displaystyle \mathbf {k} }$ — хвильовий вектор частинки, яка налітає на мішень, ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ — невідома функція.

Невідома хвильова функція входить до правої частини рівняння й стоїть під інтегралом. Це рівняння можна підставити саме в себе, тобто замінити в правій частині під інтегралом хвильову функцію на той вираз, який дає для неї саме рівняння. Як наслідок,

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-{\frac {\mu }{2\pi \hbar ^{2}}}\int {\frac {\exp(ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|}}V(r^{\prime })e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} ^{\prime }}d^{3}r^{\prime }+\left({\frac {\mu }{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{2}\int \int {\frac {\exp(ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|}}V(r^{\prime }){\frac {\exp(ik|\mathbf {r} ^{\prime }-\mathbf {r} ^{\prime \prime }|)}{|\mathbf {r} ^{\prime }-\mathbf {r} ^{\prime \prime }|}}V(r^{\prime \prime })\psi (\mathbf {r} ^{\prime \prime })d^{3}r^{\prime }d^{3}r^{\prime \prime }}$.

Таку процедуру можна повторювати N разів, отримуючи в правій частині дедалі вищі ступені ${\displaystyle V(r)\,}$.

Якщо процедуру обірвати на N-му кроці й відкинути інтеграл із невідомою функцією, то одержимо N-те Борнове наближення для хвильової функції. Обривання процедури зазвичай обґрунтовується або малістю потенціалу ${\displaystyle V(r)\,}$ або обмеженістю області його дії.

Найчастіше використовується перше Борнове наближення. Його часто називають просто Борновим наближенням.

Борнове наближення можна використовувати при розсіянні будь-яких хвиль, наприклад, електромагнітних.

Джерела

• Давидов О. С. Квантова механіка. — К. : Академперіодика, 2012. — 706 с.
• Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
• Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.