Алгоритм Мамдані

Алгоритм Мамдані — алгоритм нечіткого логічного виводу по базі знань (базі правил). Отримав назву від імені англійського математика Ебрахіма Мамдані (Ebrahim Mamdani), який запропонував його 1974 року.

Алгоритм використовується переважно в задачах нечіткого моделювання, де дозволяє значно зменшити обсяги обчислень.^[]

Означення

Формується в предметній області у вигляді нечітких предикатних правил виду:

П1: якщо x є A1, тоді z є B1,

П2: якщо x є A2, тоді z є B2,

. . . . . . . . . .

Пn: якщо x є An, тоді z є Bn,

Де х — вхідна змінна(ім'я для відомих значень даних), z — змінна виводу(ім'я для значення даних, яке буде обчислене). Ai та Bi — нечіткі множини, визначені на X та Z відповідно за допомогою функції приналежності та (z).

Математичне трактування

У представленій ситуації даних вивід у формі алгоритму Мамдані математично можна представити наступним чином.

1. Введення нечіткості (fuzzification): для заданого(чіткого) значення аргументу х = х0 знаходяться степені істинності для передумов кожного правила аі = (х0).

2. Нечіткий вивід: знаходиться рівні відсічення для передумов кожного з правил (з використання правила мінімуму):

${\displaystyle \alpha _{1}=A1(x0)\land B1(y0)}$

${\displaystyle \alpha _{2}=A2(x0)\land B2(y0)}$

де через ${\displaystyle \land }$ позначено операцію логічного мінімуму.

Потім знаходяться усічені функції належності:

${\displaystyle C_{1}'(z)=(\alpha _{1}\land C_{1}(z))}$

${\displaystyle C_{2}'(z)=(\alpha _{2}\land C_{2}(z))}$

3. Композиція: з використанням операції max (позначеної як ${\displaystyle \lor }$) виконується об'єднання знайдених усічених функцій, що приводить до отримання підсумкової нечіткої підмножини для змінної виходу з функцією належності.

${\displaystyle M(z)=C(z)=C_{1}'(z)\lor C_{2}'(z)=(\alpha 1\land C_{1}(z))\lor (\alpha _{2}\land C_{2}(z))}$

Реалізація

private List<UnionOfFuzzySets> accumulation(List<ActivatedFuzzySet> activatedFuzzySets) {  List<UnionOfFuzzySets> unionsOfFuzzySets =   new ArrayList<UnionOfFuzzySets>(numberOfOutputVariables);  for (Rule rule : rules) {  for (Conclusion conclusion : rule.getConclusions()) {  int id = conclusion.getVariable().getId();  unionsOfFuzzySets.get(id).addFuzzySet(activatedFuzzySets.get(id));  }  }  return unionsOfFuzzySets;  } private double getMaxValue(double x) {  double result = 0.0;  for (FuzzySet fuzzySet : fuzzySets) {  result = Math.max(result, fuzzySet.getValue(x));  }  return result;  } 

4. Приведення до чіткості (для знаходження z0) виконується центроїдним методом (як центр тяжіння для кривої функції належності):

${\displaystyle z0={\int _{min}^{max}z*M(z)\,dz \over \int _{min}^{max}M(z)\,dz}}$

Реалізація

private double[] defuzzification(List<UnionOfFuzzySets> unionsOfFuzzySets) {  double[] y = new double[numberOfOutputVariables];  for(int i = 0; i < numberOfOutputVariables; i++) {  double i1 = integral(unionsOfFuzzySets.get(i), true);  double i2 = integral(unionsOfFuzzySets.get(i), false);  y[i] = i1 / i2;  }  return y;  } 

Приклад даного правила

якщо x — низько, то z — високо.

Механізм нечіткого виводу при апроксимації функції z(x) можна представити у вигляді: Передумова:

П1: якщо x є A1, тоді z є B1,

П2: якщо x є A2, тоді z є B2,

. . . . . . . . . .

Пn: якщо x є An, тоді z є Bn,

Факт: x є A

Наслідок: z є B

Реалізації

Алгоритм Мамдані реалізовано в пакетах Fuzzy Logic Toolbox (розширення для MATLAB), fuzzyTECH та інших.

Примітки

1. Mamdani, E. H., Application of fuzzy algorithms for the control of a simple dynamic plant. In Proc IEEE (1974), 121–159.

Література

• Алгоритмы нечёткого вывода: алгоритм Мамдани и алгоритм Сугэно. // В. Дьяконов, В. Круглов. Математические пакеты расширения MATLAB. Специальный справочник. — Санкт-Петербург: Питер, 2001 — С. 307–309
• Штовба С. Д. Проектирование нечетких систем средствами MATLAB / С. Штовба. — М: Горячая линия-Телеком, 2007. — 288 с.
• Леоненков А. В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH / А. Леоненков. — СПб: БХВ-Петербург, 2003. — 736 с.