Алгебрична незалежність

Алгебраїчна незалежність — поняття теорії розширень полів. Нехай ${\displaystyle L}$ - деяке розширення поля ${\displaystyle K}$. Елементи ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ називаються алгебраїчно незалежними, якщо для довільного не тотожно рівного нулю многочлена ${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ з коефіцієнтами з поля ${\displaystyle K}$

${\displaystyle P(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\neq 0}$.

У іншому випадку елементи ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ називаються алгебраїчно залежними. Нескінченна множина елементів називається алгебраїчно незалежною, якщо незалежною є кожна її скінченна підмножина, і залежною в іншому випадку. Визначення алгебраїчної незалежності можливо поширити на випадок, коли ${\displaystyle L}$ — кільце і ${\displaystyle K}$ — його підкільце.

Приклад

Підмножина ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }};2\pi +1\}}$ поля дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ не є алгебраїчно незалежною над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, оскільки многочлен ${\displaystyle P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1}$ є нетривіальним з раціональними коефіцієнтами і ${\displaystyle P({\sqrt {\pi }},2\pi +1)=0}$.

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)

Посилання

• Chen, Johnny Algebraically Independent(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.