Алгебраїчна операція

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Операція.

Алгебричною операцією на множині ${\displaystyle S}$ називається функція ${\displaystyle f,}$ яка є відображенням виду ${\displaystyle f\colon S^{n}\to S,\ n\in \mathbb {N} ,\ }$ де ${\displaystyle S^{n}}$ — декартів добуток ${\displaystyle {\mbox{S×S×…×S,}}}$ в який ${\displaystyle S}$ входить ${\displaystyle {n}}$ разів.

Алгебрична операція

У цьому визначенні є два важливих моменти. По-перше, оскільки операція є функцією, то результат застосування операції визначено однозначно. Тому даний упорядкований набір з ${\displaystyle n}$ елементів множини ${\displaystyle S}$ функція ${\displaystyle f}$ переводить тільки в один елемент із ${\displaystyle S}$. По-друге, операція замкнена на ${\displaystyle S}$ у тому розумінні, що область визначення та область значень операції лежать у ${\displaystyle S^{n}}$ і ${\displaystyle S}$ відповідно.

Кажуть, що операція ${\displaystyle S^{n}\to S}$ має порядок ${\displaystyle n}$ або є ${\displaystyle n}$-арна операція. Частіше зустрічається ситуація, коли порядок дорівнює ${\displaystyle 1}$ або ${\displaystyle 2}$. Операції виду ${\displaystyle S\to S}$ називають унарними, а операції ${\displaystyle S^{2}\to S}$ називають бінарними. Елементи упорядкованого набору з ${\displaystyle n}$ елементів в області визначення ${\displaystyle S^{n}}$ називають операндами. Операції звичайно позначають символами, що називають операторами. У випадку унарних операції звичайно символ оператора ставлять перед або над операндом.

Види запису операцій

Розглянемо три варіанти запису бінарної операції складання ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b.}$

• ${\displaystyle {\mbox{infix}}}$ — оператор ставиться між операндами: ${\displaystyle a+b;}$
• ${\displaystyle {\mbox{prefix}}}$ — оператор ставиться перед операндами: ${\displaystyle +ab;}$
• ${\displaystyle {\mbox{postfix}}}$ — оператор ставиться після операндів: ${\displaystyle ab+.}$

Префіксний та постфіксний способи запису не потребують дужок при визначенні порядку обчислювання складних виразів, і це робить їх особливо зручними для автоматичної обробки. Вони часто використовуються для представлення виразів у пам'яті комп'ютера.

Алгоритм обчислення значень виразу, що записаний у постфіксній формі

1. При перегляді запису зліва направо виконується перша знайдена операція, якій безпосередньо передує достатня для неї кількість операндів.
2. На місці виконаної операції і використаних для цього операндів у рядок записується результат виконання операції.
3. Повертаємося до кроку ${\displaystyle 1.}$

Приклад

Маємо вираз: (5 * 6) / ((8 — 3) * (7 + 1) * 4) .
Запишемо його у постфіксній формі: 5 6 * 8 3 — 7 1 + 4 * / .
Тепер ми можемо його розв'язати: 5 6 * 8 3 — 7 1 + 4 * / = 30 8 3 — 7 1 + 4 * / = 30 5 7 1 + 4 * / = 30 5 8 4 * / = 30 160 / = 0.1875 .

Властивості операцій

Нехай дано множину ${\displaystyle A,}$ на якій визначено дві бінарні операції ${\displaystyle \otimes }$ та ${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle .}$

Комутативність

Якщо ${\displaystyle a\otimes b=b\otimes a}$ для всіх ${\displaystyle a,b\in A,}$ то стверджують, що бінарна операція ${\displaystyle \otimes }$ на множині ${\displaystyle A}$ має властивість — комутативність.

Асоціативність

Якщо ${\displaystyle (a\otimes b)\otimes c=a\otimes (b\otimes c)}$ для всіх ${\displaystyle a,b,c\in A,}$ то стверджують, що бінарна операція ${\displaystyle \otimes }$ на множині ${\displaystyle A}$ має властивість — асоціативність.

Дистрибутивність

Якщо ${\displaystyle a\otimes (b\oplus c)=(a\otimes b)\oplus (a\otimes c)}$ для всіх ${\displaystyle a,b,c\in A,}$ то стверджують, що бінарна операція ${\displaystyle \otimes }$ на множині ${\displaystyle A}$ має властивість — дистрибутивність відносно операції ${\displaystyle \oplus .}$

Приклад

Маємо дві бінарні операції: додавання ${\displaystyle (+)}$ та віднімання ${\displaystyle (-).}$ Перевіримо їх комутативність, асоціативність та дистрибутивність на множині дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Комутативність

${\displaystyle a+b=b+a}$ — операція додавання є комутативною.
${\displaystyle a-b\neq b-a}$ — операція віднімання не є комутативною.

Асоціативність

${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ — операція додавання є асоціативною.
${\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c)}$ — операція віднімання не є асоціативною.

Дистрибутивність

${\displaystyle a-(b+c)\neq (a-b)+(a-c)}$ — операція додавання не є дистрибутивною відносно операції віднімання.
${\displaystyle a+(b-c)\neq (a+b)-(b+c)}$ — операція віднімання не є дистрибутивною відносно операції додавання.

Примітки

1. Позначення абстрактної бінарної операції.

Джерела

Бондаренко М. Ф., Білоус Н. В., Руткас А. Г. Комп'ютерна дискретна математика: Підручник. — Харків: «Компанія СМІТ», 2004. С. 73-76. (укр.)