Автоковаріація

У теорії ймовірностей та статистиці для заданого стохастичного процесу автоковаріа́ція (англ. autocovariance) — це функція, яка дає коваріацію цього процесу із самим собою в парах моментів часу. Автоковаріація процесу тісно пов'язана з його автокореляцією.

Автоковаріація стохастичних процесів

Визначення

За звичайного позначення ${\displaystyle \operatorname {E} }$ для оператора математичного сподівання, якщо стохастичний процес ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ має функцію середнього значення ${\displaystyle \mu _{t}=\operatorname {E} [X_{t}]}$, то автоковаріацію визначають як^{:с. 162}

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} \left[X_{t_{1}},X_{t_{2}}\right]=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}X_{t_{2}}]-\mu _{t_{1}}\mu _{t_{2}}}$

(1)

де ${\displaystyle t_{1}}$ та ${\displaystyle t_{2}}$ — два моменти часу.

Визначення для слабко стаціонарного процесу

Якщо ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ — слабко стаціонарний процес, то має місце наступне:^{:с. 163}

${\displaystyle \mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu }$ для всіх ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

і

${\displaystyle \operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty }$ для всіх ${\displaystyle t}$

і

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1},0)\triangleq \operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1})=\operatorname {K} _{XX}(\tau ),}$

де ${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$ — запізнювання в часі (англ. time lag), або кількість часу, на яку було зміщено сигнал.

Таким чином, автоковаріаційна функція слабко стаціонарного процесу задається як^{:с. 517}

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t}-\mu _{t})(X_{t-\tau }-\mu _{t-\tau })]=\operatorname {E} [X_{t}X_{t-\tau }]-\mu _{t}\mu _{t-\tau }}$

(2)

що рівнозначне

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{t+\tau })(X_{t}-\mu _{t})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }X_{t}]-\mu ^{2}}$.

Унормовування

Поширеною практикою в деяких дисциплінах (наприклад, у статистиці та аналізі часових рядів) є унормовувати автоковаріаційну функцію, щоб отримувати залежний від часу коефіцієнт кореляції Пірсона. Проте в деяких інших дисциплінах (наприклад, в інженерії) унормовування зазвичай пропускають, а терміни «автокореляція» та «автоковаріація» використовують як взаємозамінні.

Визначення нормованої автокореляції стохастичного процесу:

${\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}}$.

Якщо функція ${\displaystyle \rho _{XX}}$ однозначно визначена, її значення мусять лежати в діапазоні ${\displaystyle [-1,1]}$, причому 1 вказує на ідеальну кореляцію, а −1 — на ідеальну антикореляцію.

Для слабко стаціонарного процесу визначення таке:

${\displaystyle \rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t}-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]}{\sigma ^{2}}}}$.

де

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}}$.

Властивості

Властивість симетрії

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {K} _{XX}(t_{2},t_{1})}}}$^:с.169

відповідно, для слабко стаціонарного процесу:

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {K} _{XX}(-\tau )}}}$^:с.173

Лінійні фільтри

Автоковаріацією процесу з лінійним фільтром ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,}$

є

${\displaystyle K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}K_{XX}(\tau +k-l).\,}$

Обчислення турбулентної дифузійності

Автоковаріацію можливо використовувати для обчислення ^[en]. Турбулентність у потоці може спричинювати флуктуації швидкості в просторі й часі. Таким чином, ми можемо визначати турбулентність за допомогою статистики цих флуктуацій^[].

Для визначання флуктуацій швидкості ${\displaystyle u'(x,t)}$ використовують ^[en] (припустімо, що ми зараз працюємо з одновимірною задачею, й ${\displaystyle U(x,t)}$ — швидкість уздовж напрямку ${\displaystyle x}$):

${\displaystyle U(x,t)=\langle U(x,t)\rangle +u'(x,t),}$

де ${\displaystyle U(x,t)}$ — істинна швидкість, а ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$ — ^[en]. Якщо ми оберемо правильне ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$, то всі стохастичні складові турбулентної швидкості буде включено до ${\displaystyle u'(x,t)}$. Щоби визначити ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$, необхідний набір вимірювань швидкості, зібраних із точок у просторі, моментів часу, або повторюваних експериментів.

Якщо ми припускаємо, що турбулентний потік ${\displaystyle \langle u'c'\rangle }$ (${\displaystyle c'=c-\langle c\rangle }$, а c — член концентрації) може бути викликано випадковим блуканням, то для вираження члену турбулентного потоку ми можемо використовувати закони дифузії Фіка:

${\displaystyle J_{{\text{turbulence}}_{x}}=\langle u'c'\rangle \approx D_{T_{x}}{\frac {\partial \langle c\rangle }{\partial x}}.}$

Автоковаріація швидкості визначається як

${\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\rangle }$ або ${\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\rangle ,}$

де ${\displaystyle \tau }$ — часове, а ${\displaystyle r}$ — просторове відставання.

Турбулентну дифузійність ${\displaystyle D_{T_{x}}}$ можливо обчислювати за допомогою наступних 3 методів:

1. Якщо маємо дані про швидкість уздовж (лагранжевої траєкторії):

   ${\displaystyle D_{T_{x}}=\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}$

2. Якщо маємо дані про швидкість в одному нерухомому ((ейлеровому)) положенні^[]:
   ${\displaystyle D_{T_{x}}\approx [0.3\pm 0.1]\left[{\frac {\langle u'u'\rangle +\langle u\rangle ^{2}}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}$
3. Якщо маємо інформацію про швидкість у двох нерухомих (ейлерових) положеннях^[]:
   ${\displaystyle D_{T_{x}}\approx [0.4\pm 0.1]\left[{\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{r}^{\infty }u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\,dr,}$
   де ${\displaystyle r}$ — відстань, розділена цими двома нерухомими положеннями.

Автоковаріація випадкових векторів

Докладніше: ^[en]

Див. також

• ^[en]
• Кореляція
• Взаємна коваріація
• Взаємна кореляція
• (Оцінювання коваріацій шумів) (як приклад застосування)

Примітки

1. Hsu, Hwei (1997). Probability, random variables, and random processes. McGraw-Hill. ISBN . (англ.)
2. Lapidoth, Amos (2009). A Foundation in Digital Communication. Cambridge University Press. ISBN . (англ.)
3. Kun Il Park, Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3 (англ.)
4. Taylor, G. I. (1 січня 1922). (PDF). Proceedings of the London Mathematical Society (англ.). s2-20 (1): 196—212. doi:10.1112/plms/s2-20.1.196. ISSN 1460-244X. Архів оригіналу (PDF) за 21 листопада 2021. Процитовано 21 листопада 2021. (англ.)

 

Література

• Hoel, P. G. (1984). Mathematical Statistics (вид. Fifth). New York: Wiley. ISBN . (англ.)
• (англ.)