Інтерполяційні формули

Інтерполяційні формули — формули в математиці, що дають наближене вираження функції за допомогою інтерполяції многочленами.

Інтерполяційний многочлен ${\displaystyle \ P_{n}(x)}$ ступеня ${\displaystyle \ n}$, значення якого в заданих точках ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}}$ збігаються зі значеннями ${\displaystyle y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}}$ функції в цих точках, визначається єдиним чином, але в залежності від завдання його зручно записувати різними формулами.

Формула Лагранжа

Докладніше: Многочлен Лагранжа

Функція ${\displaystyle f(x)=f_{0}+f_{1}x+f_{2}x^{2}+\ldots }$ може бути інтерпольована на відрізку ${\displaystyle [x_{0},x_{n}]}$ інтерполяційним поліномом ${\displaystyle P_{n}(x)}$, записаним у формі Лагранжа:

${\displaystyle f(x)\approx P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}y_{k}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\ldots (x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1})\ldots (x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\ldots (x_{k}-x_{n})}},}$

Похибка інтерполяції:

${\displaystyle |f(x)-P_{n}(x)|\leq {\frac {\|f^{(n+1)}(x)\|}{(n+1)!}}\cdot \|\Pi _{n}(x)\|,\qquad \Pi _{n}(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n}).}$

У просторі дійсних неперервних функцій відповідні норми набирають вигляду:

${\displaystyle \|f^{(n+1)}(x)\|=\max _{x\in [x_{0},x_{n}]}|f^{(n+1)}(x)|,\qquad \|\Pi _{n}(x)\|=\max _{x\in [x_{0},x_{n}]}|\Pi _{n}(x)|.}$

Формула Ньютона

Докладніше: Многочлен Ньютона

Якщо точки ${\displaystyle x_{0},\ x_{1},\ \ldots ,\ x_{n}}$ розташовані на рівних відстанях ${\displaystyle \ (x_{k}=x_{0}+kh)}$, поліном можна записати:

${\displaystyle P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+{\frac {t}{1!}}\Delta y_{0}+{\frac {t(t-1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {t(t-1)\cdots (t-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0}}$

(тут ${\displaystyle \ x_{0}+th=x}$, а ${\displaystyle \ \Delta ^{k}}$ — різниці k-го порядку: ${\displaystyle \ \Delta ^{k}y_{i}=\Delta ^{k-1}y_{i+1}-\Delta ^{k-1}y_{i}}$).

Це формула Ньютона для інтерполяції вперед; назва формули вказує на те, що вона містить задані значення ${\displaystyle \ y}$, що відповідають вузлам інтерполяції, що знаходяться тільки праворуч від ${\displaystyle \ x_{0}}$. Ця формула зручна при інтерполяції функцій для значень ${\displaystyle \ x}$, близьких до ${\displaystyle \ x_{0}}$.

При інтерполяції функцій для значень ${\displaystyle \ x}$, близьких до ${\displaystyle \ x_{k}}$, формулу Ньютона доцільно перетворити, змінивши початок відліку (див. Нижче формули Стірлінга і Бесселя).

Формулу Ньютона можна записати і для нерівновіддаленими вузлів, вдаючись для цієї мети до розділених різниць. На відміну від формули Лагранжа, де кожен член залежить від всіх вузлів інтерполяції, будь-який ${\displaystyle k}$-й член формули Ньютона залежить від перших (від початку відліку) вузлів і додавання нових вузлів викликає лише додавання нових членів формули (в цьому перевага формули Ньютона).

Коротка форма інтерполяційної формули Ньютона для випадку рівновіддалених вузлів:

${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}\left(C_{x}^{m}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\,C_{m}^{k}\,f_{m-k}\right)}$

де ${\displaystyle C_{x}^{m}}$ — узагальнені на область дійсних чисел біноміальні коефіцієнти.

Інтерполяційна формула Стірлінга

${\displaystyle f(x_{0}+th)=y_{0}+{\frac {t}{1!}}\mu \delta y_{0}+{\frac {t^{2}}{2!}}\delta ^{2}y_{0}+{\frac {t(t^{2}-1^{2})}{3!}}\mu \delta ^{3}y_{0}+{\frac {t^{2}(t^{2}-1^{2})}{4!}}\delta ^{4}y_{0}+}$

${\displaystyle +{\frac {t(t^{2}-1^{2})(t^{2}-2^{2})}{5!}}\mu \delta ^{5}y_{0}+\cdots +{\frac {t^{2}(t^{2}-1^{2})(t^{2}-2^{2})\cdots [t^{2}-(k-1)^{2}]}{(2k)!}}\delta ^{2k}y_{0}}$

(про значення символу ${\displaystyle \ \mu }$ зв'язку центральних різниць ${\displaystyle \ \delta ^{m}}$ з різницями ${\displaystyle \Delta ^{m}}$ див. Кінцевих різниць числення)

Застосовується при інтерполяції функцій для значень ${\displaystyle \ x}$, близьких до одного з середніх вузлів ${\displaystyle \ a}$; в цьому випадку природно взяти непарне число вузлів ${\displaystyle x_{-k},\ \ldots ,\ x_{-1},\ x_{0},\ x_{1},\ \ldots ,\ x_{k}}$, вважаючи ${\displaystyle \ a}$ центральним вузлом ${\displaystyle \ x_{0}}$.

Інтерполяційна формула Бесселя

${\displaystyle f(x_{0}+th)\approx \mu y_{1/2}+{\frac {(t-1/2)}{1!}}\delta y_{1/2}+{\frac {t(t-1)}{2!}}\mu \delta ^{2}y_{1/2}+{\frac {t(t-1)(t-1/2)}{3!}}\delta ^{3}y_{1/2}+}$

${\displaystyle +{\frac {t(t-1)(t+1)(t-2)}{4!}}\mu \delta ^{4}y_{1/2}+{\frac {t(t-1)(t+1)(t-2)(t-1/2)}{5!}}\delta ^{5}y_{1/2}+\cdots +}$

${\displaystyle +{\frac {t(t-1)(t+1)\cdots (t-k)(t+k-1)(t-1/2)}{(2k+1)!}}\delta ^{2k+1}y_{1/2}}$

Застосовується при інтерполяції функцій для значень ${\displaystyle \ x}$, близьких середин ${\displaystyle \ a}$ між двома вузлами; тут природно брати парне число вузлів ${\displaystyle x_{-k},\ \ldots ,\ x_{-1},x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k},x_{k+1}}$, і розташовувати їх симетрично щодо ${\displaystyle a(x_{0}<a<x_{1}).}$

Див. також

• Інтерполяція Ерміта
• Інтерполяційна формула Віттекера — Шеннона

Література

• Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954;