Інтеграл Джексона

Інтеграл Джексона в теорії спеціальних функцій відображає операцію, обернену до q-диференціювання.

Інтеграл Джексона ввів ^[en].

Визначення

Нехай f (x) — функція від дійсної змінної x. Інтеграл Джексона для f визначається як такий ряд:

${\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x).}$

У разі, якщо g (x) — інша функція і D_qg означає її q-похідну, формально її можна записати:

${\displaystyle \int f(x)\,D_{q}g\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x)\,D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x){\tfrac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^{k}x}},}$ або:

${\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)\cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),}$

В результаті виходить q-аналог інтеграла Рімана — Стілтьєса.

Інтеграл Джексона як q-первісна

Як звичайну первісну неперервного відображення можна подати рімановим інтегралом, так і інтеграл Джексона дає єдину q-первісну для деякого класу функцій (див. Статті Кемпфа і Маджида).

Теорема

Якщо припустити, що ${\displaystyle 0<q<1}$ і якщо значення ${\displaystyle |f(x)x^{\alpha }|}$ обмежено на інтервалі ${\displaystyle [0,A)}$ для деякого ${\displaystyle 0\leqslant \alpha <1,}$ то інтеграл Джексона збігається до функції ${\displaystyle F(x)}$ на ${\displaystyle [0,A)}$, яка є q-первісною функції ${\displaystyle f(x)}$. Більш того, ${\displaystyle F(x)}$ неперервна на ${\displaystyle x=0}$ з ${\displaystyle F(0)=0}$ і є первісною функції ${\displaystyle f(x)}$ у цьому класі функцій.

Примітки

1. Kempf, Majid, 1994, с. 6802.
2. Kac, Cheung, 2002, с. Theorem 19.1.

Література

• Victor Kac, Pokman Cheung. Quantum Calculus. — Springer-Verlag, 2002. — (Universitext) — .
• Jackson F. H. A generalization of the functions Γ(n) and x_n // Proc. R. Soc. — 1904. — Т. 74 (7 липня). — С. 64–72.
• Jackson F. H. On q-definite integrals // Q. J. Pure Appl. Math.. — 1910. — Т. 41 (7 липня). — С. 193–203.
• Algebraic q‐integration and Fourier theory on quantum and braided spaces // J. Math. Phys.. — 1994. — Вип. 35 (7 липня). — С. 6802. — DOI:10.1063/1.530644. Процитовано 24 квітня 2015.
• Kempf A., Majid S. (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 11 жовтня 2019. Процитовано 24 квітня 2015.