Інтегральний косинус

Інтегральний косинус — функція, визначена для додатних дійсних чисел формулою:

Графіки функцій Si(x) і Ci(x) на проміжку [0, 8π]

${\displaystyle {\mbox{Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos \,t-1}{t}}dt=-\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}dt}$

де ${\displaystyle \gamma }$ — стала Ейлера.

Також визначаються пов'язані функції:

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,}$

${\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,}$

Властивості

• Інтегральний косинус пов'язаний з інтегральною показниковою функцією співвідношенням:

${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {Ei} (ix)+\operatorname {Ei} (-ix)\right)}$

• Для малих x ${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)\approx \gamma +\ln x}$
• З деякими іншими функціями інтегральний косинус пов'язаний співвідношеннями:

${\displaystyle \quad \int _{0}^{\infty }\operatorname {Ci} ^{2}(t)dt={\frac {\pi }{2}},}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos(t)\operatorname {Ci} (t)dt=-{\frac {\pi }{4}},\quad \int _{0}^{\infty }\operatorname {Ci} (t)\operatorname {si} (t)dt=-\ln 2.}$

Розклад у ряд

Інтегральний косинус можна розкласти в ряд:

${\displaystyle {\mbox{Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}}$

За допомогою даного ряду визначається також інтегральний косинус від комплексного аргументу. Як функція комплексної змінної інтегральний косинус аналітичний на комплексній площині з розрізом вздовж від'ємної дійсної півосі.

Асимптотичний розклад для ${\displaystyle ~{\rm {Re}}(x)\gg 1~}$ задається розбіжним рядом

${\displaystyle {\rm {Ci}}(x)={\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)}$

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.