Інтегральна ознака Коші — Маклорена — ознака збіжності спадного додатного числового ряду. Ознака дає можливість звести перевірку збіжності ряду до перевірки збіжності невласного інтеграла відповідної функції на . Останній часто може бути знайдений в явному вигляді.
Формулювання теореми
|
Начерк доведення
- Побудуємо на графіку f (x) східчасті фігури як показано на малюнку
- Площа більшої фігури дорівнює
- Площа меншої фігури дорівнює
- Площа криволінійної трапеції під графіком функції дорівнює
- Отримуємо
- Далі доводиться за допомогою .
Повне доведення
монотонна на
отже збігається
нестрого монотонно зростає
Позначимо
границі і
— скінченні числа, отже
і
обмежені (ідея)
Нехай збігається інтеграл обмежена
обмежена
Нехай тепер збігається сума обмежена
, оскільки якщо функція
невід'ємна на деякому півінтервалі
, то для збіжності інтеграла
необхідно і достатньо, щоб усі інтеграли
, де
були обмеженими. Теорему доведено.
Приклади
розбіжний, оскільки
.
збіжний, оскільки
.
Оцінка залишку ряду
Інтегральна ознака Коші дозволяє оцінити залишок знакододатного ряду. З отриманого в доведенні виразу
за допомогою нескладних перетворень отримуємо:
.
Джерела
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет