Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
У геометрії ізопериметрична точка — це особлива точка, пов'язана з плоским трикутником. Термін був спочатку введений Г. Р. Вельдкампом у статті, опублікованій в American Mathematical Monthly в 1985 році, для позначення точки P у площині трикутника ABC, яка має властивість, що трикутники PBC, PCA і PAB мають рівні периметри, тобто
- PB + BC + CP = PC + CA + AP = PA + AB + BP.
Ізопериметричні точки в розумінні Вельдкампа існують лише для трикутників, які задовольняють певним умовам. Ізопериметрична точка трикутника ABC у розумінні Вельдкампа, якщо вона існує, має такі трилінійні координати:
- (sec (A/2) cos (B/2) cos (C/2) − 1 , sec (B/2) cos (C/2) cos (A/2) − 1 , sec (C/2) cos (A/2) cos (B/2) − 1)
Для будь-якого трикутника ABC можна пов'язати з ним точку P, що має трилінійні координати, як зазначено вище. Ця точка є чудовою точкою трикутника, і в Енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга (ETC) вона називається ізопериметричною точкою трикутника ABC. Її позначають як центр трикутника X(175). Точка X(175) не обов'язково є ізопериметричною точкою трикутника ABC у сенсі Вельдкампа. Проте, якщо існує ізопериметрична точка трикутника ABC у розумінні Вельдкампа, то вона буде тотожною точці X(175). Точка P з властивістю трикутників PBC, PCA і PAB мати рівні периметри була досліджена ще в 1890 році в статті Еміля Лемуана.
Існування ізопериметричної точки в розумінні Вельдкампа
Нехай ABC — довільний трикутник, довжини його сторін дорівнюють a, b і c, радіус описаного кола дорівнює R, а радіус вписаного кола — r. Необхідну і достатню умову існування ізопериметричної точки в розумінні Вельдкампа можна сформулювати так.
- Трикутник ABC має ізопериметричну точку в розумінні Вельдкампа тоді і тільки тоді, коли a + b + c > 4R + r .
Для всіх гострокутних трикутників ABC маємо a + b + c > 4R + r, тому всі гострокутні трикутники мають ізопериметричну точку в розумінні Вельдкампа.
Властивості
Нехай P — чудова точка трикутника X(175) трикутника ABC. Тоді:
- P лежить на прямій, що з'єднує центр вписаного кола і точку Жергона трикутника ABC.
- Якщо P — ізопериметрична точка трикутника ABC у розумінні Вельдкампа, то зовнівписані кола трикутників PBC, PCA, PAB попарно дотикаються одна до одної, а P — їхній радикальний центр.
- Якщо P — ізопериметрична точка трикутника ABC у розумінні Вельдкампа, то периметри трикутників PBC, PCA, PAB дорівнюють 2 Δ / |4 R + r — (a + b + c)|, де Δ — площа, R — радіус описаного кола, r — радіус вписаного кола, a, b, c — довжини сторін трикутника ABC.
Кола Содді
Для даного трикутника ABC можна накреслити кола в площині трикутника ABC з центрами в точках A, B і C так, щоб вони дотикалися один до одного зовні. Загалом, можна намалювати два нових кола, кожне з яких буде дотичним до трьох кіл з центрами A, B, C. (Одне з кіл може виродитися в пряму лінію.) Ці кола називають колами Содді трикутника ABC. Коло з меншим радіусом є внутрішнім колом Содді, а його центр називається внутрішньою точкою Содді або внутрішнім центром Содді трикутника ABC. Коло з більшим радіусом є зовнішнім колом Содді, а його центр називається зовнішньою точкою Содді або зовнішнім центром Содді трикутника ABC. Чудова точка трикутника X(175), ізопериметрична точка в розумінні Кімберлінга, є зовнішньою точкою Содді трикутника ABC.
Примітки
- G. R. Veldkamp (1985). The isoperimetric point and the point(s) of equal detour. Amer. Math. Monthly. 92 (8): 546—558. doi:10.2307/2323159. JSTOR 2323159.
- Hajja, Mowaffaq; Yff, Peter (2007). The isoperimetric point and the point(s) of equal detour in a triangle. Journal of Geometry. 87 (1–2): 76—82. doi:10.1007/s00022-007-1906-y.
- Kimberling, Clark. Isoperimetric Point and Equal Detour Point. Архів оригіналу за 10 травня 2012. Процитовано 27 травня 2012.
- Kimberling, Clark. X(175) Isoperimetric Point. Архів оригіналу за 19 April 2012. Процитовано 27 травня 2012.
- The article by Emile Lemoine can be accessed in Gallica. The paper begins at page 111 and the point is discussed in page 126.Gallica [Архівовано 28 грудня 2021 у Wayback Machine.]
- Nikolaos Dergiades (2007). The Soddy Circles (PDF). Forum Geometricorum. 7: 191—197. Архів оригіналу (PDF) за 14 червня 2010. Процитовано 29 травня 2012.
- Soddy Circles. Архів оригіналу за 4 березня 2016. Процитовано 29 травня 2012.
Посилання
- isoperimetric and equal detour points [Архівовано 28 грудня 2021 у Wayback Machine.] — інтерактивна ілюстрація на Geogebratube
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U geometriyi izoperimetrichna tochka ce osobliva tochka pov yazana z ploskim trikutnikom Termin buv spochatku vvedenij G R Veldkampom u statti opublikovanij v American Mathematical Monthly v 1985 roci dlya poznachennya tochki P u ploshini trikutnika ABC yaka maye vlastivist sho trikutniki PBC PCA i PAB mayut rivni perimetri tobto PB BC CP PC CA AP PA AB BP Izoperimetrichni tochki v rozuminni Veldkampa isnuyut lishe dlya trikutnikiv yaki zadovolnyayut pevnim umovam Izoperimetrichna tochka trikutnika ABC u rozuminni Veldkampa yaksho vona isnuye maye taki trilinijni koordinati sec A 2 cos B 2 cos C 2 1 sec B 2 cos C 2 cos A 2 1 sec C 2 cos A 2 cos B 2 1 Dlya bud yakogo trikutnika ABC mozhna pov yazati z nim tochku P sho maye trilinijni koordinati yak zaznacheno vishe Cya tochka ye chudovoyu tochkoyu trikutnika i v Enciklopediyi centriv trikutnika Klarka Kimberlinga ETC vona nazivayetsya izoperimetrichnoyu tochkoyu trikutnika ABC Yiyi poznachayut yak centr trikutnika X 175 Tochka X 175 ne obov yazkovo ye izoperimetrichnoyu tochkoyu trikutnika ABC u sensi Veldkampa Prote yaksho isnuye izoperimetrichna tochka trikutnika ABC u rozuminni Veldkampa to vona bude totozhnoyu tochci X 175 Tochka P z vlastivistyu trikutnikiv PBC PCA i PAB mati rivni perimetri bula doslidzhena she v 1890 roci v statti Emilya Lemuana Isnuvannya izoperimetrichnoyi tochki v rozuminni VeldkampaTrikutnik ABC v yakomu chudova tochka X 175 ne ye izoperimetrichnoyu tochkoyu v rozuminni Veldkampa Nehaj ABC dovilnij trikutnik dovzhini jogo storin dorivnyuyut a b i c radius opisanogo kola dorivnyuye R a radius vpisanogo kola r Neobhidnu i dostatnyu umovu isnuvannya izoperimetrichnoyi tochki v rozuminni Veldkampa mozhna sformulyuvati tak Trikutnik ABC maye izoperimetrichnu tochku v rozuminni Veldkampa todi i tilki todi koli a b c gt 4R r Dlya vsih gostrokutnih trikutnikiv ABC mayemo a b c gt 4R r tomu vsi gostrokutni trikutniki mayut izoperimetrichnu tochku v rozuminni Veldkampa VlastivostiNehaj P chudova tochka trikutnika X 175 trikutnika ABC Todi P lezhit na pryamij sho z yednuye centr vpisanogo kola i tochku Zhergona trikutnika ABC Yaksho P izoperimetrichna tochka trikutnika ABC u rozuminni Veldkampa to zovnivpisani kola trikutnikiv PBC PCA PAB poparno dotikayutsya odna do odnoyi a P yihnij radikalnij centr Yaksho P izoperimetrichna tochka trikutnika ABC u rozuminni Veldkampa to perimetri trikutnikiv PBC PCA PAB dorivnyuyut 2 D 4 R r a b c de D plosha R radius opisanogo kola r radius vpisanogo kola a b c dovzhini storin trikutnika ABC Kola SoddiVnutrishnye i zovnishnye kola Soddi u vipadku koli zovnishnya tochka Soddi ye izoperimetrichnoyu tochkoyu u rozuminni Veldkampa Vnutrishni ta zovnishni kola Soddi u vipadku koli zovnishnya tochka Soddi ne ye izoperimetrichnoyu tochkoyu u rozuminni Veldkampa Dlya danogo trikutnika ABC mozhna nakresliti kola v ploshini trikutnika ABC z centrami v tochkah A B i C tak shob voni dotikalisya odin do odnogo zovni Zagalom mozhna namalyuvati dva novih kola kozhne z yakih bude dotichnim do troh kil z centrami A B C Odne z kil mozhe viroditisya v pryamu liniyu Ci kola nazivayut kolami Soddi trikutnika ABC Kolo z menshim radiusom ye vnutrishnim kolom Soddi a jogo centr nazivayetsya vnutrishnoyu tochkoyu Soddi abo vnutrishnim centrom Soddi trikutnika ABC Kolo z bilshim radiusom ye zovnishnim kolom Soddi a jogo centr nazivayetsya zovnishnoyu tochkoyu Soddi abo zovnishnim centrom Soddi trikutnika ABC Chudova tochka trikutnika X 175 izoperimetrichna tochka v rozuminni Kimberlinga ye zovnishnoyu tochkoyu Soddi trikutnika ABC PrimitkiG R Veldkamp 1985 The isoperimetric point and the point s of equal detour Amer Math Monthly 92 8 546 558 doi 10 2307 2323159 JSTOR 2323159 Hajja Mowaffaq Yff Peter 2007 The isoperimetric point and the point s of equal detour in a triangle Journal of Geometry 87 1 2 76 82 doi 10 1007 s00022 007 1906 y Kimberling Clark Isoperimetric Point and Equal Detour Point Arhiv originalu za 10 travnya 2012 Procitovano 27 travnya 2012 Kimberling Clark X 175 Isoperimetric Point Arhiv originalu za 19 April 2012 Procitovano 27 travnya 2012 The article by Emile Lemoine can be accessed in Gallica The paper begins at page 111 and the point is discussed in page 126 Gallica Arhivovano 28 grudnya 2021 u Wayback Machine Nikolaos Dergiades 2007 The Soddy Circles PDF Forum Geometricorum 7 191 197 Arhiv originalu PDF za 14 chervnya 2010 Procitovano 29 travnya 2012 Soddy Circles Arhiv originalu za 4 bereznya 2016 Procitovano 29 travnya 2012 Posilannyaisoperimetric and equal detour points Arhivovano 28 grudnya 2021 u Wayback Machine interaktivna ilyustraciya na Geogebratube