В алгебрі ядром гомоморфізму (функція, яка зберігає структуру) зазвичай є прообраз нуля (за винятком груп, у яких операція є мультиплікативною і ядро є прообразом одиниці). Важливим окремим випадком є (ядро лінійного відображення). (Ядро матриці), яке також називають нульовим простором, є (ядром лінійного відображення), яке визначається цією матрицею.
Ядро гомоморфізму зводиться до 0 (або 1) тоді й лише тоді, коли гомоморфізм є ін'єктивним, тобто, якщо прообраз кожного елемента складається з одного елемента. Це означає, що ядро можна розглядати як міру степеня, при якому гомоморфізм перестає бути ін'єктивним.1
Для деяких типів структур, таких як абелеві групи та векторні простори, можливі ядра є саме підструктурами того ж типу. Це не завжди так, і іноді, можливі ядра мають особливу назву, наприклад, нормальна підгрупа для груп і двосторонній ідеал для кілець.
Ядра дозволяють визначати (фактор-об'єкти) (в універсальній алгебрі також називаються (фактор-алгебрами), а в теорії категорій — коядрами). Для багатьох типів алгебраїчних структур фундаментальна теорема про гомоморфізми (або перша теорема про ізоморфізми) стверджує, що образ гомоморфізму ізоморфний фактор-простору за ядром.
Концепція ядра була розширена на такі структури, для яких існування прообразу окремого елемента недостатньо, щоб довести, що гомоморфізм є ін'єктивним. У цих випадках ядро є відношенням конгруентності. Ця стаття є оглядом деяких важливих типів ядер в алгебраїчних структурах.
Лінійні простори
Нехай і
— векторні простори над полем (або, у загальному випадку, модулі над кільцем), а
— лінійне відображення, що діє з простору
у простір
(
). Якщо
нульовий вектор з простору
, тоді ядро лінійного відображення
є прообразом нульового підпростору
; тобто підмножина простору
, що складається з усіх тих елементів, що належать простору
, які відображаються
у елемент
. Ядро зазвичай позначають як
або використовують варіації наступного запису:
Оскільки лінійне відображення зберігає нульові вектори, то нульовий вектор з простору
повинен належати ядру. Перетворення
є ін'єктивним тоді й лише тоді, коли його ядро породжене лише нульовим підпростором.
Ядро завжди є лінійним підпростором простору
. Отже, є сенс говорити про фактор-простір
. Перша теорема про ізоморфізм для векторних просторів стверджує, що цей фактор-простір природно ізоморфний образу відображення
(який є підпростором простору
). Як наслідок, розмірність простору
дорівнює розмірності ядра плюс розмірність образу:
Якщо і
скінченновимірні простори в яких зафіксовано базиси, то лінійне відображення
можна представити матрицею
, а ядро можна знайти, розв'язавши однорідну систему лінійних рівнянь
. У цьому випадку ядро лінійного відображення
може бути одночасно визначено (ядром матриці)
, яке також називають «нульовим простором» матриці
. Розмірність нульового простору матриці
, яку називають дефектом матриці
, визначається кількістю стовпців матриці
мінус ранг матриці
, як наслідок [en].
Розв'язування (однорідних диференціальних рівнянь) часто зводиться до обчислення ядра певних диференціальних операторів. Наприклад, знайдемо всі двічі диференційовані функції , які визначені на дійсній прямій, такі, що
Нехай — простір усіх двічі диференційованих функцій,
— простір усіх функцій. Визначимо лінійний оператор
, що діє з простору
у простір
, наступним чином:
де ,
— довільне дійсне число. Тоді всі розв'язки диференціального рівняння належать
.
Аналогічним чином можна визначити ядра для гомоморфізмів між модулями над кільцем. Це включає ядра гомоморфізмів між абелевими групами як частинний випадок. Цей приклад відображає суть ядер у загальних абелевих категоріях; див. ядро (теорія категорій).
Гомоморфізм груп
Нехай та
— групи, а
— гомоморфізм груп з
в
. Якщо
— нейтральний елемент з групи
, то ядро гомоморфізму
— це прообраз одноелементної множини
; тобто підмножини групи
, що складається з усіх тих елементів групи
, які відображаються
у елемент
. Ядро зазвичай позначають
. У символьній формі:
Оскільки гомоморфізм групи зберігає нейтральні елементи, то нейтральний елемент групи
належить ядру.
Гомоморфізм є ін'єктивним тоді й лише тоді, коли його ядром є одноелементна множина
. Якщо гомоморфізм
неін'єктивний, тоді неін'єктивні елементи можуть утворювати окремий елемент його ядра: тобто існують елементи
, такі що
і
. Таким чином,
.
— це груповий гомоморфізм, тому обернені та групові операції зберігаються, а тому
; іншими словами
і
не є одноелементним. і навпаки, різні елементи ядра прямо порушують ін'єктивність: якщо б існував елемент
, тоді
і, таким чином,
не був би ін'єктивним.
— це підгрупа групи
і крім того нормальна підгрупа. Отже, існує відповідна фактор-група
. За першою теоремою про ізоморфізм для груп вона ізоморфна
, образу групи
при відображенні
(яка теж є підгрупою групи
).
У частинному випадку абелевих груп немає ніяких відхилень від попереднього пункту.
Приклад
Нехай — циклічна група з 6 елементів
з додаванням за модулем,
— циклічна група з двох елементів
з додаванням за модулем, а
— гомоморфізм, який відображає кожен елемент
в елемент
за модулем
. Тоді
, оскільки всі ці елементи відображаються в
. Фактор-група
має два елементи:
та
. Вона дійсно ізоморфна групі
.
Гомоморфізми кілець
Нехай і
— кільця (вважатимемо їх унітарними), а
— гомоморфізм кільця, що діє з
до
(
). Якщо
— [en]
, то ядро гомоморфізму
є його ядром як лінійного відображення над цілими числами, або, еквівалентно, як адитивної групи. Це прообраз [en]
, який є підмножиною кільця
, що складається з усіх тих елементів кільця
, які відображаються гомоморфізмом
в елемент
. Ядро зазвичай позначають як
(або інші варіації цього позначення). У символьній формі:
Оскільки гомоморфізм кільця зберігає нульові елементи, нульовий елемент кільця
повинен належати ядру. Гомоморфізм
є ін'єктивним тоді і лише тоді, коли його ядром є лише одноелементна множина
. Це завжди має місце, якщо кільце
є полем, а кільце
не є [en].
Оскільки містить мультиплікативну одиницю лише тоді, коли
є нульовим кільцем, то ядро у загальному випадку не є підкільцем кільця
. Ядро є [en], а точніше, двостороннім ідеалом кільця
. Таким чином, має сенс говорити про фактор-кільце
. Перша теорема про ізоморфізм кілець стверджує, що це фактор-кільце природно ізоморфне образу гомоморфізму
(який є підкільцем кільця
). (Зауважте, що кільця не обов'язково повинні бути унітарними для визначення ядра).
У деякій мірі це можна розглядати як частинний випадок ситуації з модулями, оскільки всі вони є бімодулями над кільцем :
- саме
,
- двосторонній ідеал кільця
(наприклад,
),
- будь-яке фактор-кільце кільця
(наприклад,
),
- [en] будь-якого гомоморфізму кільця областю якого є
(наприклад, кільце
— кообласть гомоморфізму
).
Однак теорема про ізоморфізм дає сильніший результат, оскільки ізоморфізми кілець зберігають множення, а ізоморфізми модулів (навіть між кільцями) взагалі ні. Цей приклад розкриває суть ядер у загальних (алгебрах Мальцева).
Гомоморфізми моноїдів
Нехай та
— моноїди, та нехай
— [en] з
в
. Тоді ядро гомоморфізму
— це підмножина прямого добутку
, що складається з усіх впорядкованих пар елементів з
, обидві компоненти яких відображаються за допомогою
у один і той самий елемент з
. Ядро зазвичай позначають
. У символьній формі:
Оскільки є функцією, то елементи виду
повинні належати ядру. Гомоморфізм
є ін'єктивним тоді й лише тоді, коли його ядром є лише діагональна множина
.
Виявляється, що є відношенням еквівалентності на
, і фактично відношенням конгруентності. Таким чином, має сенс говорити про фактор-моноїд
. Перша теорема про ізоморфізм для моноїдів стверджує, що цей фактор-моноїд природно ізоморфний образу гомоморфізму
(який є підмоноїдом моноїда
; для відношення конгруентності). Це суттєво відрізняється від наведених вище прикладів. Зокрема, прообразу нейтрального елементу з
недостатньо для визначення ядра гомоморфізму
.
Універсальні алгебри
Усі вищезазначені випадки можуть бути уніфіковані й узагальнені в універсальній алгебрі.
Загальний випадок
Нехай і
— алгебраїчні структури заданого типу і
— гомоморфізм цього типу з
в
. Тоді ядро
— це підмножина прямого добутку
, що складається з усіх тих упорядкованих пар елементів з
, обидва компоненти яких відображаються за допомогою
у один і той самий елемент з
. Ядро зазвичай позначається
. У символьній формі:
Оскільки є функцією, то елементи виду
повинні належати ядру. Гомоморфізм
є ін’єктивним тоді й лише тоді, коли його ядро є діагональною множиною
.
Легко побачити, що є відношенням еквівалентності на
, і фактично відношенням конгруентності. Таким чином, має сенс говорити про (фактор-алгебру)
. Перша теорема про ізоморфізм в загальній універсальній алгебри стверджує, що ця фактор-алгебра природно ізоморфна образу гомоморфізму
(який є (підалгеброю) в
). Зауважимо, що означення ядра тут (як у моноїдному прикладі) не залежить від алгебраїчної структури; це суто теоретико-множинне поняття. Докладніше про це загальне поняття, за межами абстрактної алгебри, дивись [en].
Алгебри Мальцева
У випадку алгебр Мальцева цю конструкцію можна спростити. Кожна алгебра Мальцева має спеціальний нейтральний елемент (нульовий вектор у випадку векторних просторів, одиничний елемент у випадку комутативних груп і нульовий елемент у випадку кілець або модулів). Характерною особливістю алгебри Мальцева є те, що можна відновити всі відношення еквівалентності з класу еквівалентності нейтрального елемента.
Точніше, нехай і
— алгебраїчні структури Мальцева даного типу, а
— гомоморфізм цього типу з
в
. Якщо
— нейтральний елемент з
, то ядро гомоморфізму
— прообраз одноелементної множини
; тобто підмножина множини
, що складається з усіх тих елементів множини
, які відображаються за допомогою
в елемент
. Ядро зазвичай позначають
(або його варіація). У символьній формі:
Оскільки гомоморфізм алгебри Мальцева зберігає нейтральні елементи, то нейтральний елемент множини
повинен належати ядру. Гомоморфізм
є ін’єкивним тоді й лише тоді, коли його ядром є лише одноелементна множина
.
Поняття ідеалу узагальнюється на будь-яку алгебру Мальцева (як лінійний підпростір у випадку векторних просторів, нормальна підгрупа у випадку груп, двосторонні ідеали у випадку кілець, і підмодуль у випадку модулів). Виявляється, що не є (підалгеброю) в
, а є ідеалом. Тоді є сенс говорити про (фактор-алгебру)
. Перша теорема про ізоморфізм для алгебр Мальцева стверджує, що ця фактор-алгебра природно ізоморфна образу відображення
(який є підалгеброю в
).
Зв’язок між цим і відношенням конгруентності для більш загальних типів алгебр полягає в наступному. По-перше, ядро як ідеал є класом еквівалентності нейтрального елемента відносно ядра як конгруенції. Для зворотного напрямку потрібне поняття фактору в алгебрі Мальцева (яке є діленням з обох сторін для груп і відніманням для векторних просторів, модулів і кілець). Використовуючи це, елементи
і
з
є еквівалентними відносно ядра як конгруенції тоді й лише тоді, коли їх відношення
є елементом ядра як ідеалу.
Алгебри з неалгебраїчними струкутрами
Іноді алгебри оснащені неалгебраїчною структурою на додаток до їх алгебраїчних операцій. Наприклад, можна розглядати топологічні групи або топологічні векторні простори оснащені топологією. У цьому випадку можна очікувати, що гомоморфізм збереже цю додаткову структуру; у топологічних прикладах вимагаємо, щоб
було неперервним відображенням. Процес може зіткнутися з проблемою фактор-алгебр, які можуть поводитися не дуже добре. У топологічних прикладах можна уникнути проблем, вимагаючи, щоб топологічні алгебраїчні структури були гаусдорфовими (як це зазвичай робиться); тоді ядро (як би воно не було побудовано) буде замкненою множиною, а фактор-простір працюватиме нормально (а також буде хаусдорфовим).
Ядро в теорії категорій
Поняття ядра в теорії категорій є узагальненням ядра абелевих алгебр; дивись ядро (теорія категорій). Категоріальним узагальненням ядра як відношення конгруентності є [en]. (Існує також поняття [en] або бінарного [en].)
Властивості
Основні властивості ядра гомоморфізму в статтях:
- (Ядро та образ гомоморфізму)
- Теорема про гомоморфізми
- Теореми про ізоморфізми (перша теорема)
Див. також
- (Ядро (математика))
- Ядро інтегрального оператора
- (Ядро лінійного оператора)
- (Ядро (лінійна алгебра))
- Нульова множина
Література
- Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley. .
- Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет