Щільність послідовності ― поняття загальної адитивної теорії чисел, що вивчає закони додавання цілих послідовностей загального вигляду. Щільність послідовності є мірою того, яка частина послідовності всіх натуральних чисел належить даній послідовності цілих невід'ємних чисел . Під поняттям щільності послідовності мають на увазі щільність , введену в 1930 Шнірельманом (звідси англійська назва терміна — Schnirelmann density) послідовності, А саме:
де — кількість членів послідовності , що не перевищують .
Пов'язані визначення
Нехай ― арифметична сума послідовностей
і
, тобто множина
.
Якщо вважають
, аналогічно
і т. д.
Якщо , то
називається базисом
-го порядку.
Властивості
- Щільність
тоді і тільки тоді, коли
збігається із множиною
всіх цілих невід'ємних чисел.
- Нерівність Шнірельмана
- Нерівність Манна ― Дайсона
З нерівності Шнірельмана випливає, що будь-яка послідовність додатної щільності є базисом скінченного порядку. Застосування цього факту до адитивних задач, у яких часто підсумовуються послідовності нульової щільності, здійснюється за допомогою попереднього конструювання з заданих послідовностей нових з додатною щільністю. Наприклад, за допомогою доводиться, що послідовність , де
пробігає прості числа, має додатну щільність. Звідси випливає теорема Шнірельмана: існує таке ціле число
, що будь-яке натуральне число є сумою не більше ніж
простих чисел. Ця теорема дає розв'язок так званої ослабленої проблеми Гольдбаха.
Варіації та узагальнення
Різновидом поняття щільності послідовності є поняття асимптотичної щільності, окремим випадком якої є .
Поняття щільності послідовності узагальнюється на числові послідовності, відмінні від натурального ряду, наприклад на послідовності цілих чисел у полях алгебричних чисел. Завдяки цьому вдається вивчати базиси в алгебричних полях.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Shilnist poslidovnosti ponyattya zagalnoyi aditivnoyi teoriyi chisel sho vivchaye zakoni dodavannya cilih poslidovnostej zagalnogo viglyadu Shilnist poslidovnosti ye miroyu togo yaka chastina poslidovnosti vsih naturalnih chisel nalezhit danij poslidovnosti A a i displaystyle A a i cilih nevid yemnih chisel 0 a 0 lt a 1 lt a 2 lt displaystyle 0 a 0 lt a 1 lt a 2 lt dots Pid ponyattyam shilnosti poslidovnosti mayut na uvazi shilnist d A displaystyle d A vvedenu v 1930 Shnirelmanom zvidsi anglijska nazva termina Schnirelmann density poslidovnosti A same d A inf n Z p A n 1 n displaystyle d A inf n in mathbb Z pi A n 1 n de p A n displaystyle pi A n kilkist chleniv poslidovnosti A displaystyle A sho ne perevishuyut n displaystyle n Pov yazani viznachennyaNehaj A B displaystyle A B arifmetichna suma poslidovnostej A a i displaystyle A a i i B b i displaystyle B b i tobto mnozhina A B c Z c a b a A b B displaystyle A B c in mathbb Z c a b a in A b in B Yaksho A B displaystyle A B vvazhayut 2 A A A displaystyle 2A A A analogichno 3 A 2 A A displaystyle 3A 2A A i t d Yaksho n A Z displaystyle nA mathbb Z to A displaystyle A nazivayetsya bazisom n displaystyle n go poryadku VlastivostiShilnist d A 1 displaystyle d A 1 todi i tilki todi koli A displaystyle A zbigayetsya iz mnozhinoyu Z displaystyle mathbb Z vsih cilih nevid yemnih chisel Nerivnist Shnirelmana d A B d A d B d A d B displaystyle d A B geq d A d B d A d B Nerivnist Manna Dajsona d A B min d A d B 1 displaystyle d A B geq min d A d B 1 Z nerivnosti Shnirelmana viplivaye sho bud yaka poslidovnist dodatnoyi shilnosti ye bazisom skinchennogo poryadku Zastosuvannya cogo faktu do aditivnih zadach u yakih chasto pidsumovuyutsya poslidovnosti nulovoyi shilnosti zdijsnyuyetsya za dopomogoyu poperednogo konstruyuvannya z zadanih poslidovnostej novih z dodatnoyu shilnistyu Napriklad za dopomogoyu dovoditsya sho poslidovnist p p displaystyle p p de p displaystyle p probigaye prosti chisla maye dodatnu shilnist Zvidsi viplivaye teorema Shnirelmana isnuye take cile chislo c 0 gt 0 displaystyle c 0 gt 0 sho bud yake naturalne chislo ye sumoyu ne bilshe nizh c 0 displaystyle c 0 prostih chisel Cya teorema daye rozv yazok tak zvanoyi oslablenoyi problemi Goldbaha Variaciyi ta uzagalnennyaRiznovidom ponyattya shilnosti poslidovnosti ye ponyattya asimptotichnoyi shilnosti okremim vipadkom yakoyi ye Ponyattya shilnosti poslidovnosti uzagalnyuyetsya na chislovi poslidovnosti vidminni vid naturalnogo ryadu napriklad na poslidovnosti cilih chisel u polyah algebrichnih chisel Zavdyaki comu vdayetsya vivchati bazisi v algebrichnih polyah