Чотирилисник

Чотирилисник (також відомий як чотирилисник конюшини) — різновид троянди з кутовою частотою 2. Крива має полярне рівняння

Повернутий чотирилистник

Утворення чотирилисника за допомогою шестерень

${\displaystyle r=a\cos(2\theta ),\,}$

і відповідне алгебричне рівняння

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=a^{2}(x^{2}-y^{2})^{2}.\,}$

Якщо повернути проти годинникової стрілки на 45°:

${\displaystyle r=a\sin(2\theta )\,}$

і

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=4a^{2}x^{2}y^{2}.\,}$

У будь-якій формі це плоска алгебрична крива роду нуль.

Дуальною кривою до чотирилисника є

${\displaystyle (x^{2}-y^{2})^{4}+837(x^{2}+y^{2})^{2}+108x^{2}y^{2}=16(x^{2}+7y^{2})(y^{2}+7x^{2})(x^{2}+y^{2})+729(x^{2}+y^{2}).\,}$

Дуальний чотирилисник

Площа всередині чотирилисника дорівнює ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi a^{2}}$, що дорівнює половині площі кола, описаного навколонього. Периметр чотирилисника дорівнює

${\displaystyle 8a\operatorname {E} \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=4\pi a\left({\frac {(52{\sqrt {3}}-90)\operatorname {M} '(1,7-4{\sqrt {3}})}{\operatorname {M} ^{2}(1,7-4{\sqrt {3}})}}+{\frac {7-4{\sqrt {3}}}{\operatorname {M} (1,7-4{\sqrt {3}})}}\right)}$

де ${\displaystyle \operatorname {E} (k)}$ — повний еліптичний інтеграл другого роду з модулем ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle \operatorname {M} }$ — середнє арифметико-геометричне і ${\displaystyle '}$ позначає похідну за другою змінною.

Примітки

1. C G Gibson, Elementary Geometry of Algebraic Curves, An Undergraduate Introduction, Cambridge University Press, Cambridge, 2001, . Pages 92 and 93
2. Quadrifolium — from Wolfram MathWorld

Література

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. с. 175. ISBN .

Посилання

• Інтерактивний приклад із JSXGraph