Число Белла

В комбінаториці числом Белла ${\displaystyle B_{n}}$ називається число всіх невпорядкованих розбиттів n-елементної множини, при цьому за означенням вважають ${\displaystyle B_{0}=1}$.

52 розбиття множини з 5 елементів

Число Белла можна обчислити як суму (чисел Стірлінга другого роду):

${\displaystyle B_{n}=\sum _{m=0}^{n}S(n,m)}$

Для чисел Белла справедлива також формула Добинського:

${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}}$.

Генератриса чисел Белла має вигляд

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}}$.

Приклад

Значення чисел Белла ${\displaystyle B_{n}}$ для ${\displaystyle n=0,1,\dots ,10}$:

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, … (послідовність A000110 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)