Числа Піфагора (піфагорова трійка) складаються з трьох натуральних чисел a, b і c, таких що a2 + b2 = c2. Ці числа зазвичай записують в такому вигляді (a, b, c), і найвідоміший приклад (3, 4, 5). Якщо (a, b, c) числа Піфагора, тоді й (ka, kb, kc) також для будь-якого цілого додатнього k. Примітивними Піфагоровими числами називають взаємно прості a, b й c.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWtMMlF5TDFCNWRHaGhaMjl5WldGdUxuTjJaeTh5TWpCd2VDMVFlWFJvWVdkdmNtVmhiaTV6ZG1jdWNHNW4ucG5n.png)
Назву свою числа отримали через теорему Піфагора, для якої ці числа є розв'язком. Але не всі розв'язки теореми є Піфагоровими числами. Наприклад, трикутник зі сторонами a = b = 1 і c = √2 прямокутний, але (1, 1, √2) не є піфагоровими числами, тому що √2 — не натуральне число. Щобільше, 1 і √2 не мають цілого спільного кратного, тому що √2 ірраціональне число. Для c ≤ 100 є лише 16 примітивних Піфагорових трійок:
(3, 4, 5) | (5, 12, 13) | (7, 24, 25) | (8, 15, 17) |
(9, 40, 41) | (11, 60, 61) | (12, 35, 37) | (13, 84, 85) |
(16, 63, 65) | (20, 21, 29) | (28, 45, 53) | (33, 56, 65) |
(36, 77, 85) | (39, 80, 89) | (48, 55, 73) | (65, 72, 97) |
Загальні формули
За допомогою простих арифметичних обчислень неважко перевірити, що для довільних цілих m>n числа
є числами Піфагора. Вони будуть примітивними, m і n взаємно прості й одне з них парне (якби обидва були непарними, тоді числа a, b і c були б парними, а значить, трійка не була б примітивною). З іншого боку можна довести, що всі примітивні числа Піфагора можна задати подібним чином. Справді, нехай a, b, c — деякі примітивні числа Піфагора. Вочевидь, два з них мають бути непарними, а одне — парним. Доведемо, що випадок, коли a, b — непарні, а c — парне неможливий. Справді, якщо c є парним, то c2 ділиться на 4, тоді як a2 + b2 =(2p+1)2 + (2q+1)2 =4p2+4p+1+4q2+4q+1 при діленні на 4 дає в остачі 2. Отже, припустимо, що a, c — непарні, а b — парне. Записавши a2 − c2 = b2 і враховуючи a2 − c2 = (a+с)×(a−с) ділячи на 4 остаточно, одержуємо:
У попередній формулі множники в лівій частині є взаємно простими. Інакше їх спільний дільник був би спільним дільником і для a, c, а значить і для b, що неможливо. Оскільки два множники взаємно прості, а їхній добуток є квадратом цілого, то кожне з цих чисел є квадратом цілого.
Якщо покласти
то вирази для a, b, c через m, n саме і будуть шуканими формулами.
Див. також
- Піфагорова четвірка
- (Рівняння Якобі — Маддена)
Джерела
- Pythagorean Triple. mathworld.wolfram.com (англ.). Wolfram MathWorld. Процитовано 5 лютого 2022.
{{}}
: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url () - Литцман В. Теорема Пифагора Теорема Пифагора / перевод с немецкого В. С. Бермана, под редакцией И. М.Яглома. — Москва : Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 116 с. (рос.)
- Серпинский В. Пифагоровы треугольники. Пособие для учителей / перевод с польского под редакцией и с примечаниями С. И. Зетеля. — Москва-Ленинград : Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР (Учпедгиз), 1959. — 112 с. (рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет