Центр (алгебра)

У алгебрі центром деякої алгебричної структури називають множину елементів, що комутують з усіма іншими щодо деякої операції.

Центр напівгрупи (моноїда, групи)

Докладніше: Центр групи

Якщо ${\displaystyle G}$ є напівгрупою, моноїдом чи групою. Тоді центр відповідної структури задається як

${\displaystyle \mathrm {Z} (G):=\{z\in G\mid \forall g\in G:gz=zg\}.}$

${\displaystyle Z(G)}$ є комутативною піднапівгрупою, підмодоїдом чи підгрупою.

Центр кільця

Елементами центру кільця R є елементи, що комутують відносно множення з усіма елементами кільця:

${\displaystyle \mathrm {Z} (R)=\{z\in R\mid za=az\ \forall \ a\in R\}.}$

Центр ${\displaystyle Z(R)}$ комутативним підкільцем кільця R. Кільце є комутативним тоді і тільки тоді, коли воно є рівним своєму центру.

Центр асоціативної алгебри

Центром асоціативної алгебри називається підалгебра елементи якої комутують з усіма елементами алгебри:

${\displaystyle \mathrm {Z} (A)=\{z\in A\mid za=az\ \forall \ a\in A\}.}$

Алгебра є комутативною тоді і тільки тоді, коли вона є рівною своєму центру.

Центр алгебри Лі

Означення

Центр алгебри Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є комутативним ідеалом і визначається як:

${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})=\{Z\in {\mathfrak {g}}\mid [X,Z]=0\ \forall \ X\in {\mathfrak {g}}\}}$,

де ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ позначає дужки Лі у алгебрі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Приклади

• Центром загальної лінійної групи ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$ є множина скалярних ненульових матриць:

${\displaystyle Z\left(\mathrm {GL} (n,K)\right)=\{\lambda E_{n}\colon \lambda \in K^{*}\}}$.

• Для асоціативної алгебри із комутатором як дужкою Лі обидва поняття центру є еквівалентними.

Див. також

• Централізатор
• Центр групи