Умова Брегга — Вульфа

Умо́ва Бре́гга — Ву́льфа (або закон Брегга, або інтерференція Лауе — Брегга) визначає напрямок максимумів дифракції пружно розсіяного на кристалі рентгенівського випромінювання. Вивели 1913 року незалежно В. Л. Брегг і Г. В. Вульф. Має вигляд:

${\displaystyle \quad 2d\sin \theta =n\lambda }$

де d — міжплощинна відстань, θ — кут ковзання (бреггівський кут), n — порядок дифракційного максимуму, λ — довжина хвилі.

Бреггівську дифракцію можна спостерігати не тільки для електромагнітних хвиль, але й для хвиль матерії (хвильова функція). Зокрема, року це вперше продемонстровано експериментально для нейтронів, а пізніше також для окремих атомів, конденсату Бозе — Ейнштейна, електронів, двоатомних і багатоатомних молекул.

Виведення

Бреггівська дифракція

Нехай плоска монохроматична хвиля будь-якого типу падає на ґратку з періодом d, під кутом θ, як показано на малюнку. Як видно, є різниця ходу між променем, відбитим уздовж AC', і променем, що пройшов до другої площини атомів шляхом AB і тільки після цього відбився вздовж BC. Різниця ходу запишеться як

${\displaystyle (AB+BC)-(AC').}$

Якщо ця різниця дорівнює цілому числу хвиль n, то дві хвилі прийдуть у точку спостереження з однаковими фазами, зазнавши інтерференції. Математично можна записати:

${\displaystyle (AB+BC)-(AC')=n\lambda }$

де λ — довжина хвилі випромінювання. Скориставшись теоремою Піфагора можна показати, що

${\displaystyle AB={\frac {d}{\sin \theta }}}$, ${\displaystyle BC={\frac {d}{\sin \theta }}}$, ${\displaystyle AC={\frac {2d}{\tan \theta }}}$,

а також

${\displaystyle AC'=AC\cdot \cos \theta ={\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta }$.

Зібравши все разом отримаємо відомий вираз:

${\displaystyle n\lambda ={\frac {2d}{\sin \theta }}-{\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}(1-\cos ^{2}\theta )={\frac {2d}{\sin \theta }}\sin ^{2}\theta }$

Після спрощення отримаємо закон Брегга

${\displaystyle n\lambda =2d\cdot \sin \theta ~~~~(1).}$

Застосування

Умова Брегга — Вульфа дозволяє визначити міжплощинні відстані d в кристалі, оскільки λ зазвичай відома, а кути θ вимірюються експериментально. Умову (1) отримано без урахування ефекту заломлення для безмежного кристала, що має ідеально-періодичну будову. Насправді дифраговане випромінювання поширюється в скінченному кутовому інтервалі θ±Δθ, причому ширина цього інтервалу визначається в кінематичному наближенні числом відбивних атомних площин (тобто пропорційна лінійним розмірам кристала), аналогічно числу штрихів дифракційної решітки. За динамічної дифракції величина Δθ залежить також від величини взаємодії рентгенівського випромінювання з атомами кристала. Спотворення кристалічної ґратки, залежно від їх характеру, призводять до зміни кута θ, або зростання Δθ, або до того й іншого одночасно.

Умова Брегга — Вульфа є початковою точкою досліджень у рентгенівському структурному аналізі, рентгенографії матеріалів, рентгенівській топографії.

Умова Брегга — Вульфа залишається справедливою при дифракції γ-випромінювання, електронів і нейтронів у кристалах, при дифракції в шаруватих і періодичних структурах випромінювання радіо- і оптичного діапазонів, а також звуку.

У нелінійній оптиці і квантовій електроніці для опису параметричних і непружних процесів застосовують різні умови просторового синхронізму хвиль, близькі за змістом до умови Брегга — Вульфа.

Примітки

1. Bragg, W. H.; Bragg, W. L. (1913). The Reflexion of X-rays by Crystals. Proc. R. Soc. Lond. A. 88 (605): 428—38. Bibcode:1913RSPSA..88..428B. doi:10.1098/rspa.1913.0040.
2. . Архів оригіналу за 4 березня 2021. Процитовано 21 травня 2022.
3. Dana P. Mitchell, Philip N. Powers. Bragg Reflection of Slow Neutrons // Physical Review. — 1936. — Т. 50, вип. 5 (1 вересня). — С. 486–487. — DOI:10.1103/PhysRev.50.486.2.
4. Peter Martin, Bruce Oldaker, Andrew Miklich, David Pritchard. Bragg scattering of atoms from a standing light wave // Physical Review Letters. — 1988. — Vol. 60, iss. 6 (1 February). — P. 515–518. — ISSN 0031-9007. — DOI:10.1103/PhysRevLett.60.515.
5. M. Kozuma, L. Deng, E. W. Hagley, J. Wen, R. Lutwak. Coherent Splitting of Bose-Einstein Condensed Atoms with Optically Induced Bragg Diffraction // Physical Review Letters. — 1999. — Vol. 82, iss. 5 (1 February). — P. 871–875. — ISSN 1079-7114 0031-9007, 1079-7114. — DOI:10.1103/PhysRevLett.82.871.
6. Daniel L. Freimund, Herman Batelaan. Bragg Scattering of Free Electrons Using the Kapitza-Dirac Effect // Physical Review Letters. — 2002. — Vol. 89, iss. 28 (30 December). — P. 283602. — ISSN 1079-7114 0031-9007, 1079-7114. — DOI:10.1103/PhysRevLett.89.283602.
7. J. R. Abo-Shaeer, D. E. Miller, J. K. Chin, K. Xu, T. Mukaiyama. Coherent Molecular Optics Using Ultracold Sodium Dimers // Physical Review Letters. — 2005. — Vol. 94, iss. 4 (3 February). — P. 040405. — ISSN 1079-7114 0031-9007, 1079-7114. — DOI:10.1103/PhysRevLett.94.040405.
8. Christian Brand, Filip Kiałka, Stephan Troyer, Christian Knobloch, Ksenija Simonović. Bragg Diffraction of Large Organic Molecules // Physical Review Letters. — 2020. — Vol. 125, iss. 3 (16 July). — P. 033604. — ISSN 1079-7114 0031-9007, 1079-7114. — DOI:10.1103/PhysRevLett.125.033604.

Див. також

• Дифракція

Література

• Bragg W. L., «The Diffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal», Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 17, 43 (1914).
• Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, , , и др. — М.: Сов. энциклопедия. Т. 1: Аронова — Бома эффект — Длинные линии. — М.: БСЭ, 1988. — 704 с., ил.