Теорема про базисний мінор
- Рядки ненульової матриці
(існує не нульовий елемент) на яких будується її базисний мінор
є лінійно незалежними.
- Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.
Доведення
- Якби базисні рядки були лінійно залежними то з допомогою еквівалентних перетворень можна було б одержати нульовий рядок, що суперечить тому, що базовий мінор не дорівнює нулю.
- За допомогою довільного не базисного рядка (нехай його номер
) та довільного стовбця матриці (нехай його номер
) утворимо оточуючий мінор для базисного. Він буде дорівнювати нулю. Розклавши його
-му стовпцю (теорема Лапласа), отримаємо:
оскільки алгебраїчне доповнення рівне нашому базовому мінору
з точністю до знака, отже
тому розділимо весь вираз на нього:
Отже -ий рядок є лінійною комбінацією базових рядків з коефіцієнтами
.
Див. також
- Теорія матриць
- Матриця (математика)
- Визначник
- Ранг матриці
- Теорема Лапласа — розклад визначника по рядку (стовпцю)
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
- Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema pro bazisnij minorRyadki nenulovoyi matrici A displaystyle A isnuye ne nulovij element na yakih buduyetsya yiyi bazisnij minor D r displaystyle Delta r ye linijno nezalezhnimi Vsi inshi ryadki matrici linijno virazhayutsya cherez nih Dovedennya Yakbi bazisni ryadki buli linijno zalezhnimi to z dopomogoyu ekvivalentnih peretvoren mozhna bulo b oderzhati nulovij ryadok sho superechit tomu sho bazovij minor ne dorivnyuye nulyu Za dopomogoyu dovilnogo ne bazisnogo ryadka nehaj jogo nomer k displaystyle k ta dovilnogo stovbcya matrici nehaj jogo nomer j displaystyle j utvorimo otochuyuchij minor dlya bazisnogo Vin bude dorivnyuvati nulyu Rozklavshi jogo j displaystyle j mu stovpcyu teorema Laplasa otrimayemo a 1 j A 1 j a 2 j A 2 j a r j A r j a k j A k j 0 displaystyle a 1j A 1j a 2j A 2j ldots a rj A rj a kj A kj 0 oskilki algebrayichne dopovnennya A k j displaystyle A kj rivne nashomu bazovomu minoru D r displaystyle Delta r z tochnistyu do znaka otzhe A k j 0 displaystyle A kj neq 0 tomu rozdilimo ves viraz na nogo a k j l 1 a 1 j l 2 a 2 j l r a r j l j A i j A k j j 1 r displaystyle a kj lambda 1 a 1j lambda 2 a 2j ldots lambda r a rj qquad lambda j frac A ij A kj quad forall j in 1 r Otzhe k displaystyle k ij ryadok ye linijnoyu kombinaciyeyu bazovih ryadkiv z koeficiyentami l j displaystyle lambda j Div takozhPortal Matematika Teoriya matric Matricya matematika Viznachnik Rang matrici Teorema Laplasa rozklad viznachnika po ryadku stovpcyu DzherelaGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Teoriya matric 2 Moskva Nauka 1982 272 s ros Gelfand I M Lekcii po linejnoj algebre 5 e Moskva Nauka 1998 320 s ISBN 5791300158 ros