Теоре́ма Радо́на — Ніко́дима в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах описує загальний вид (міри), абсолютно неперервної щодо іншої міри.
Формулювання
Нехай — простір з мірою і міра
є
-скінченною. Тоді якщо міра
є абсолютно неперервною відносно
, то існує вимірна функція
, така що
де інтеграл розуміється в сенсі Лебега. Якщо є іншою функцією, що задовольняє твердження теореми, то
-майже всюди.
Для зарядів і комплексних мір
Нехай — простір з мірою і міра
є
-скінченною і
є σ-адитивним (зарядом) або комплексною мірою і
тобто
є абсолютно неперервним щодо
то існує
-вимірна дійсно- чи комплекснозначна функція
на
така, що для кожної вимірної множини
Якщо є іншою функцією, що задовольняє твердження теореми, то
-майже всюди.
Пов'язані визначення
- Функція
, існування якої гарантується теоремою Радона — Нікодима, називається похідною Радона — Нікодіма міри
щодо міри
. Пишуть:
- Якщо
—
-вимірний векторний простір з борелівською σ-алгеброю
— розподіл деякої випадкової величини
, а
— міра Лебега на
, то похідна Радона — Нікодима міри
щодо міри
називається (щільністю розподілу) випадкової величини
.
Властивості
- Нехай
—
-скінченні міри, визначені на одному і тому ж просторі з мірою
. Тоді якщо
і
, то
- Нехай
. Тоді
— майже всюди.
- Нехай
і
— вимірна функція, інтегрована щодо міри
, то
- Нехай
і
. Тоді
- Нехай
— (заряд). Тоді
Припущення σ-скінченності
У випадку якщо міра не є σ-скінченною тоді твердження теореми не виконується. Для прикладу можна розглянути борелівську σ-алгебру на множині дійсних чисел. На даній σ-алгебрі можна задати міру
, що рівна кількості елементів множини для скінченних множин і +∞ в іншому випадку. Визначена таким чином міра не є σ-скінченною, оскільки не всі борелівські множини є зліченними. Нехай
— міра Лебега.
— абсолютно неперервна відносно
, оскільки єдина множина A нульової міри
— пуста множина і тоді ν(A) = 0.
Якщо припустити, що теорема Радона — Нікодима справджується, то існує вимірна функція f, для якої:
для всіх борелівських множин. Нехай A — довільна одноелементна множина , A = {a}, і, використовуючи згадану вище рівність, одержується:
для всіх дійсних чисел a. Звідси функція f, і міра Лебега ν, є нульовими, що суперечить означенню міри Лебега.
Доведення
Нижче подані два доведення перше із яких використовує стандартні методи теорії міри, зокрема властивості (σ-адитивних) (зарядів). Ключову роль у ньому відіграє теорема Гана про розклад мір і розклад Жордана. Друге використовує той факт, що класи еквівалентності інтегровних у квадраті функцій утворюють гільбертів простір і властивості гільбертових просторів, зокрема теорему Ріса.
Доведення методами теорії міри
Ідея доведення полягає у тому, що спершу для скінченних мір μ і ν розглядаються функції f для яких f dμ ≤ dν. Теорема доводиться із використанням супремуму таких функцій і (теореми Леві промонотонну збіжність). Після доведення твердження для скінченних мір воно легко узагальнюється на σ-скінченні міри, (заряди) і (комплексні міри).
Доведення для скінченних мір
Нехай μ і ν є скінченними невід'ємними мірами і F позначає множину вимірних функцій f : X → [0, ∞] для яких:
F не є порожньою оскільки містить принаймні нульову функцію. Нехай f1, f2 ∈ F і для вимірної множини A позначимо підмножини:
Тоді
і тому також max{ f 1, f 2} ∈ F.
Якщо fn є послідовністю функцій F для якої
то замінюючи fn на максимум перших n функцій, можна припустити, що послідовність fn є зростаючою. Нехай g : X → [0, ∞] є поточковою границею послідовності:
Згідно (теореми Леві про монотонну збіжність):
для кожної A ∈ Σ і тому g ∈ F. Також за побудовою
Оскільки g ∈ F, то функція множин задана як
є невід'ємною мірою на Σ. Необхідно довести, що ν0 = 0.
Якщо припустити, що ν0 ≠ 0, то оскільки μ є скінченною мірою, існує ε > 0 для якого ν0(X) > ε μ(X). Розглянемо (заряд) ν0 − ε μ і його додатну множину P ∈ Σ із розкладу Гана.
Тоді для довільної A ∈ Σ також ν0(A ∩ P) ≥ ε μ(A ∩ P), і тому
де 1P є характеристичною функцією множини P. Також μ(P) > 0 адже якщо μ(P) = 0, тоді із того, що ν є абсолютно неперервним щодо μ і ν0(P) ≤ ν(P) = 0 випливає, що ν0(P) = 0 і
де N ∈ Σ є від'ємною множиною із розкладу Гана.
Остання нерівність суперечить тому, що ν0(X) > εμ(X).
Оскільки також
то g + ε 1P ∈ F і
Ця нерівність є неможливою і тому припущення, що ν0 ≠ 0 є хибним і ν0 = 0.
Оскільки g є μ-інтегровною, то множина {x ∈ X : g(x) = ∞} має μ-міру рівну нулю. Тому функція f визначена як
є дійснозначною функцією, що задовольняє умови теореми Радона — Нікодима.
Нехай f, g : X → [0, ∞) є двома вимірними функціями для яких
для кожної вимірної множини A. Тоді g − f є μ-інтегровною і
Зокрема для A = {x ∈ X : f(x) > g(x)}, або{x ∈ X : f(x) < g(x)}. Звідси випливає, що
і тому (g − f )+ = 0 μ-майже сюди; таке ж твердження є вірним і для (g − f )− і тому f = g μ-майже всюди.
Доведення для σ-скінченних мір
Якщо μ і ν є σ-скінченними, то X можна записати як диз'юнкте об'єднання множин {Bn}n із Σ, кожна із яких має скінченну міру у μ і ν. Для кожного числа n із доведеного скінченного випадку існує Σ-вимірна функція fn : Bn → [0, ∞) для якої
для кожної Σ-вимірної підмножини A із Bn. Сума тоді є необхідною функцією для якої
.
Оскільки кожна із функцій fn є єдиною з точністю до множин μ-міри нуль, то і f є єдиною з точністю до множин μ-міри нуль.
Доведення для зарядів і комплексних мір
Якщо ν є σ-скінченним σ-адитивним (зарядом), то для нього існує розклад Жордана ν = ν+ − ν− де одна із мір є скінченною. Застосовуючи теорему Радона — Нікодима до цих мір одержуються функції g, h : X → [0, ∞), принаймні одна з яких є μ-інтегровною. Функція f = g − h задовольняє умови теореми, зокрема і єдиність з точністю до множин μ-міри нуль.
Якщо ν є (комплексною мірою) то її можна записати як ν = ν1 + iν2, де ν1 і ν2 є скінченними σ-адитивними (зарядами). Тому із попереднього одержуються функції, g, h : X → [0, ∞), які задовольняють твердження теореми для зарядів ν1 і ν2, відповідно. Функція f = g + ih тоді задовольняє твердження теореми Радона — Нікодима для комплексних мір.
Доведення методами функціонального аналізу
Тут доводиться випадок скінченних невід'ємних мір. Перехід на інші випадки аналогічний попередньому доведенню.
Нехай є сумою мір. Тоді для будь-якої невід'ємної вимірної функції
Простір всіх інтегровних у квадраті функцій щодо міри
із відношенням еквівалентності яке ідентифікує функції які набувають різних значень лише на множині
-міри нуль є гільбертовим простором. Для функції
тоді згідно нерівності Коші — Буняковського для гільбертових просторів:
Оскільки є скінченним, то
є обмеженим (лінійним функціоналом) на просторі
Згідно теореми Ріса, існує такий елемент
, що лінійний функціонал є рівний скалярному добутку на цей елемент, тобто
Якщо для довільної вимірної множини зокрема взяти за
характеристичну функцію множини
, то із того, що
випливає нерівність
Оскільки ці нерівності виконуються для всіх вимірних множин , то також і
майже скрізь на
щодо міри
. Дійсно, якщо б це було не так, то оскільки множина
є об'єднанням зліченної кількості відкритих інтервалів
і
то хоча б для одного такого інтервалу
або
Якщо це справедливо для першого типу інтервалів, то позначивши
тоді
що суперечить нерівностям вище для довільного . Аналогічно для другого типу інтервалів позначивши
тоді
що, знову ж, суперечить згаданим нерівностям.
Можна змінити функцію на множині
-міри нуль щоб нерівності
виконувалися на всьому просторі
. Із попередніх рівностей випливає, що для всіх
Якщо позначити і
, то із останньої рівності для
випливає, що
і відповідно
.
Із обмеженості функції випливає, що
. Підставивши цю функцію у рівність інтегралів одержується рівність
Для усіх точок із функції
монотонно зростають до одиничної функції, а на множині
усі функції
є рівними нулю. Звідси із використанням (теореми Леві про монотонну збіжність)
.
Послідовність функцій поточково монотонно прямує до невід'ємної вимірної функції
і з використанням теореми про монотонну збіжність
і остаточно для всіх вимірних множин
Якщо у цій формулі взяти всю множину то одержується єдиним чином визначений елемент
який задовольняє умови теореми. Всі функції, що задовольняють умови теореми відповідно належать вказаному класу еквівалентності і між собою відрізняються лише на множині μ-міри нуль.
Доведення теореми Лебега
Позначення і схему цього доведення можна використати для доведення (теореми Лебега про розклад міри). У вказаному доведенні можна розглядати міру , функцію
, множини
і
навіть якщо міра
не є абсолютно неперервною щодо
. У цьому випадку також
але звідси не обов'язково випливає, що
.
Тоді можна розглянути міри і
. Міри
і
є (сингулярними), а для
можна як і у доведенні знайти функцію для якої
Зокрема
є абсолютно неперервною щодо
і відповідно існує розклад
міри
на суму двох мір одна з яких є сингулярною, а інша — абсолютно неперервною щодо міри
, що і є твердженням теореми Лебега для скінченних мір.
Якщо μ і ν є σ-скінченними, то X можна записати як диз'юнкте об'єднання множин {Bn}n із Σ, кожна із яких має скінченну міру у μ і ν. Тоді обмеження μ і ν на кожну підмножину Bn є скінченними мірами і на цій підмножині можна ввести міри ν1 і ν2. Разом із зліченної адитивності ці міри визначаються на всьому просторі і перша з них буде сингулярною, а друга — абсолютно неперервною щодо міри μ.
Див. також
- Абсолютна неперервність
- (Відстань Кульбака — Лейблера)
- (Заряд (теорія міри))
- Теорема Гана про розклад
- (Теорема Лебега про розклад міри)
Джерела
- Дороговцев, А. Я. (1989), Элементы общей теории меры и интеграла, К.: Вища школа, с. 152, ISBN
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
- Халмош П. Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953
- Rudin, Walter (1966), Real & Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет