Теорема про монотонну збіжність — теорема теорії інтегрування Лебега, що має фундаментальне значення для функціонального аналізу і теорії ймовірностей, де є інструментом для доведення багатьох тверджень. Дає одну з достатніх умов при яких можна переходити до границі під знаком інтеграла Лебега, дозволяє довести існування межі у деяких обмежених функціональних послідовностей.
Твердження
Нехай — фіксований простір з мірою.
- Припустимо, що
- монотонна і майже всюди невід'ємна функціональна послідовність інтегровних за Лебегом функцій на
. Тоді
- Нехай
— монотонно зростаюча функціональна послідовність. Причому інтеграли Лебега від функцій
обмежені в сукупності, тобто
. Тоді гранична функція
скінченна майже всюди, інтегровна і
.
- Нехай ряд
складається з інтегровних невід'ємних функцій. Тоді якщо інтеграли від часткових сум ряду обмежені в сукупності:
,
то ряд сходиться до майже всюди скінченної інтегровної функції і
.
Формулювання з теорії ймовірностей
Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій , вищенаведена теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай
- монотонна послідовність невід'ємних майже напевно інтегровних випадкових величин. Тоді
.
Література
- Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989
- Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004
- D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991,
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema pro monotonnu zbizhnist teorema teoriyi integruvannya Lebega sho maye fundamentalne znachennya dlya funkcionalnogo analizu i teoriyi jmovirnostej de ye instrumentom dlya dovedennya bagatoh tverdzhen Daye odnu z dostatnih umov pri yakih mozhna perehoditi do granici pid znakom integrala Lebega dozvolyaye dovesti isnuvannya mezhi u deyakih obmezhenih funkcionalnih poslidovnostej TverdzhennyaNehaj X F m displaystyle X mathcal F mu fiksovanij prostir z miroyu Pripustimo sho fn n 1 displaystyle f n n 1 infty monotonna i majzhe vsyudi nevid yemna funkcionalna poslidovnist integrovnih za Lebegom funkcij na X displaystyle X Todi Xlimn fn x m dx limn Xfn x m dx displaystyle int limits X lim limits n to infty f n x mu dx lim limits n to infty int limits X f n x mu dx Nehaj fn n 1 displaystyle f n n 1 infty monotonno zrostayucha funkcionalna poslidovnist Prichomu integrali Lebega vid funkcij fn x displaystyle f n x obmezheni v sukupnosti tobto K n N Xfn x m dx lt K displaystyle exists K forall n in mathbb N int limits X f n x mu dx lt K Todi granichna funkciya f x limn fn x displaystyle f x lim n to infty f n x skinchenna majzhe vsyudi integrovna i Xf x m dx limn Xfn x m dx displaystyle int limits X f x mu dx lim n to infty int limits X f n x mu dx Nehaj ryad k 1 ϕk x displaystyle sum k 1 infty phi k x skladayetsya z integrovnih nevid yemnih funkcij Todi yaksho integrali vid chastkovih sum ryadu obmezheni v sukupnosti X k 1nϕk x m dx C displaystyle int limits X sum k 1 n phi k x mu dx leq C to ryad Xn n 1 displaystyle X n n 1 infty shoditsya do majzhe vsyudi skinchennoyi integrovnoyi funkciyi i k 1 Xϕk x m dx Xϕ x m dx displaystyle sum k 1 infty int limits X phi k x mu dx int limits X phi x mu dx Formulyuvannya z teoriyi jmovirnostejOskilki matematichne spodivannya vipadkovoyi velichini viznachayetsya yak yiyi integral Lebega po prostoru elementarnih podij W displaystyle Omega vishenavedena teorema perenositsya i v teoriyu jmovirnostej Nehaj Xn n 1 displaystyle X n n 1 infty monotonna poslidovnist nevid yemnih majzhe napevno integrovnih vipadkovih velichin Todi E limn Xn limn EXn displaystyle mathbb E left lim limits n to infty X n right lim limits n to infty mathbb E X n LiteraturaDorogovcev A Ya Elementy obshej teorii mery i integrala Kiyiv 1989 Capinski Marek Kopp Peter E Measure Integral and Probability Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810 D Williams Probability with Martingales Cambridge University Press 1991 ISBN 0 521 40605 6