Теорема Лагранжа – твердження в теорії груп згідно з яким кількість елементів будь-якої підгрупи скінченної групи ділить кількість елементів самої групи.
Точніше можна записати
- ,
де позначає індекс групи по підгрупі ,тобто кількість класів суміжності в , а , позначають порядок групи і підгрупи, тобто кількість їх елементів.
Доведення
Нехай є скінченною групою. Розглянемо множину лівосторонніх класів суміжності групи щодо . Ця множина розбиває групу на рівнопотужних множин: .
Тобто
- ,
і враховуючи відсутність перетину цих множин:
- ,
і враховуючи їх рівнопотужність з , остаточно отримуємо
- ,
тобто:
- .
Наслідки
- Кількість правих і лівих суміжних класів будь-якої підгрупи в однакова і називається індексом підгрупи в (позначається ).
- Порядок будь-якої підгрупи скінченної групи є дільником порядку .
- Із того, що (порядок елемента) групи дорівнює порядку циклічної підгрупи, яку створює цей елемент, слідує, що порядок будь-якого елемента скінченної групи є дільником . Цей наслідок узагальнює теорему Ейлера і малу теорему Ферма в теорії чисел.
- Група порядку , де - просте число, циклічна. (Оскільки порядок елемента, відмінного від одиниці, не може дорівнювати , всі елементи, крім одиниці, мають порядок , а отже, кожен з них породжує групу.)
Узагальнення
Теорема Лагранжа допускає наступне просте узагальнення:
нехай є скінченною групою і маємо , тоді
- .
Доведення
З теореми Лагранжа випливає:
- і також
- ,
- звідки
- .
Джерела
Українською
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
Іншими мовами
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
- [en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет