Теорема Коші про середнє значення

Теорема, що належить французькому математикові Огюстену Коші й називається узагальненою теоремою про скінченні прирости. Вона узагальнює теорему Лагранжа.

Формулювання теореми

Якщо кожна з двох функцій ${\displaystyle \!f(x)}$ та ${\displaystyle \!g(x)}$ неперервна на проміжку ${\displaystyle \![a,b]}$ та диференційовна в усіх внутрішніх точках цього проміжку і якщо, окрім того, похідна ${\displaystyle \!g'(x)}$ відмінна від нуля скрізь у проміжку ${\displaystyle \![a,b]}$, то на цьому проміжку знайдеться точка ${\displaystyle \!c}$ така, що має місце формула:

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}\qquad \qquad (1)}$.

Формулу (1) називають узагальненою формулою скінченних приростів, або формулою Коші.

Доведення

Перш за все покажемо, що ${\displaystyle \!g(a)\neq \;\!g(b)}$. І справді, якщо б це було не так, то для функції ${\displaystyle \!g(x)}$ на проміжку ${\displaystyle \![a,b]}$ були б виконані умови теореми Ролля. Тоді б на проміжку ${\displaystyle \![a,b]}$ знайшлася б точка ${\displaystyle \xi \ }$ така, що ${\displaystyle \!g'(\xi \ )=0}$. Останнє суперечить умові теореми. Отже, ${\displaystyle \!g(a)\neq \;\!g(b)}$, і ми маємо право розглянути наступну допоміжну функцію:

${\displaystyle \!F(x)=\!f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}[g(x)-g(a)]\qquad \qquad (2)}$

В силу умов, які накладено на функції ${\displaystyle \!f(x)}$ та ${\displaystyle \!g(x)}$, функція ${\displaystyle \!F(x)}$ неперервна на проміжку ${\displaystyle \![a,b]}$ та знайдеться точка ${\displaystyle \!c}$ така, що

${\displaystyle \!F'(c)=0.\qquad \qquad (3)}$

Маючи на увазі те, що

${\displaystyle \!F'(x)=\!f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(x)}$,

і використовуючи рівність (3) отримаємо:

${\displaystyle \!f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c)=0.\qquad \qquad (4)}$

Враховуючи, що ${\displaystyle g'(c)\neq \;0}$ з рівності (4) отримуємо формулу Коші:

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}$

Теорему доведено.

Зауваження

Формула Лагранжа є частковим випадком формули Коші (1), коли ${\displaystyle \!g(x)=x}$.

У формулі (1) зовсім не обов'язково вважати, що ${\displaystyle \!b>a}$

Прості застосування

Нехай f є неперервна функція на дійсніх числах яка визначена на випадковому інтервалі l. Якщо похідна функції f у кожної внутрішнії точки інтервалу l їснує і дорівнює нулю, f є постійна.

Доведення: візьмем на себе, що похідна функції f у кожної внутрішнії точки інтервалу l існує і дорівнює нулю. Нехай (a,b) є випадковій інтервал в l. Згідно з теоремой про середнє значення існує точка с в (a,b) така що:

$${\displaystyle 0=f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$$

Це означає, що f(a)=f(b). Так f є постійна в кожної точки інтервалу l, навіть якщо l є нескінченний.

Геометрична інтрепретація теореми

Геометричне значення теореми Коші

F(t) є функція ℝ→ℝ×ℝ: F(t)=(f(t),g(t), t∈[a;b]. Існує деяка дотична до цієй функції така, що вона паралельна до прямої [(f(a);g(a)), (f(b);g(b))]

Узагальнення щодо визначнику

Якщо f(x), g(x) і h(x) є диференційовна функція на (a,b), яка їснує на [a,b], тоді визначимо

${\displaystyle D(x)=\left|{\begin{array}{ccc}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{array}}\right|}$

Тоді їснує таке с ∈ (a,b), що D'(c)=0.

Зауважимо, що ${\displaystyle D'(x)=\left|{\begin{array}{ccc}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{array}}\right|}$

І якщо ми замінимо h(x)=1, це буде еквівалентно звичайній теоремі.

Доведення: функції D(a) і D(b) є визначникі матриць, які мають два однакових рядка, тому D(a)=D(b)=0. Згідно з теоремою Ролля їснує таке с∈ (a,b), що D'(c)=0

Див. також

• Теорема Лагранжа
• Теорема Ролля
• Огюстен Луї Коші

Джерела

• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• , Основы математического анализа. — 7-е. — М : Физматлит, 2004. — Т. 1. — 644 с. — .(рос.)