Теорема Джекобсона про щільність

В абстрактній алгебрі теорема Джекобсона про щільність є важливим результатом про властивості некомутативних кілець та модулів над ними. Теорема має застосування у теорії представлень груп та загальній теорії груп. Названа на честь американського математика Натана Джекобсона.

Необхідні означення

Нехай ${\displaystyle R}$ є кільцем з одиницею і ${\displaystyle M}$ — R-модуль. Такий модуль називається простим, коли у нього немає нетривіальних підмодулів, тобто єдиними його підмодулями є ${\displaystyle \{0\}}$ і ${\displaystyle M}$. Модуль називається точним, якщо ${\displaystyle rM=\{0\}}$ виконується лише для ${\displaystyle r=0}$.

Позначимо ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(M)}$ множину R-ендоморфізмів модуля ${\displaystyle M}$. На ${\displaystyle M}$ можна ввести множення кільця ${\displaystyle D=\mathrm {End} _{R}(M)}$ як

${\displaystyle \alpha \cdot m:=\alpha (m)}$   де   ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {End} _{R}(M),m\in M}$

і тоді ${\displaystyle M}$ буде ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(M)}$-модулем на якому можна розглядати ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(M)}$-лінійні відображення.

${\displaystyle R}$-лінійність ендоморфізмів ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {End} _{R}(M)}$ означає, що

${\displaystyle \alpha (rm)=r\alpha (m)}$   для всіх   ${\displaystyle r\in R,m\in M,\alpha \in \mathrm {End} _{R}(M)}$.

Позначивши ${\displaystyle \ell _{r}}$ відображення лівого множення елементів ${\displaystyle M}$ на елемент ${\displaystyle r\in R}$, з попереднього рівняння одержуємо, що кожна ${\displaystyle \ell _{r}}$ є ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(M)}$-лінійним відображенням. Загалом натомість ${\displaystyle \ell _{r}}$ не є ${\displaystyle R}$-лінійним якщо ${\displaystyle R}$ не є комутативним кільцем.

Теорема Джекобсона про щільність

Твердження теореми

Нехай ${\displaystyle R}$ є кільцем з одиницею (загалом некомутативним), ${\displaystyle M}$ — простий точний лівий ${\displaystyle R}$-модуль і ${\displaystyle \varphi }$ є ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(M)}$-лінійним відображенням.

Тоді для кожної скінченної множини елементів ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{n}\in M}$, що є лінійно незалежними над ${\displaystyle D=\mathrm {End} _{R}(M)}$ існує такий елемент ${\displaystyle r\in R}$, що ${\displaystyle \varphi (m_{i})=rm_{i}}$ для всіх ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$.

Іншими словами для D-лінійно незалежних елементів ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{n}\in M}$ і довільних елементів ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}\in M}$ існує такий елемент ${\displaystyle r\in R}$, що ${\displaystyle y_{i}=rm_{i}.}$

Доведення теореми

Нехай ${\displaystyle X\subset M}$ — скінченна підмножина і ${\displaystyle I=\mathrm {ann} _{R}(X)}$ — анулятор підмножини. Нехай елемент ${\displaystyle m\in M}$, такий що ${\displaystyle Im=0}$. Тоді ${\displaystyle m}$ належить ${\displaystyle D}$-лінійній оболонці множини ${\displaystyle X.}$

Справді якщо ${\displaystyle X=\emptyset }$, то ${\displaystyle I=R}$ і ${\displaystyle m=0}$, тож ${\displaystyle m}$ належить лінійній оболонці порожньої множини. Нехай тепер ${\displaystyle X\neq \emptyset }$ і доведення можна здійснити індукцією по ${\displaystyle |X|}$.

Нехай ${\displaystyle x\in X}$ і позначимо ${\displaystyle Y=X-\{x\}}$. Нехай ${\displaystyle J=\mathrm {ann} _{R}(Y)}$. Зауважимо що ${\displaystyle I=J\cap \mathrm {ann} _{R}(x)}$. Якщо ${\displaystyle J\subseteq \mathrm {ann} _{R}(x)}$, тоді ${\displaystyle J=I}$ і тому ${\displaystyle Jm=0}$. Згідно припущення індукції у цьому випадку ${\displaystyle m}$ належить ${\displaystyle D}$-лінійній оболонці множини ${\displaystyle Y}$ і відповідно і ${\displaystyle D}$-лінійній оболонці множини ${\displaystyle X}$. Тому надалі можна вважати що ${\displaystyle Jx\neq 0}$. Множина ${\displaystyle J\subset R}$ є лівим ідеалом і тому ${\displaystyle Jx}$ є ${\displaystyle R}$-підмодулем у ${\displaystyle M}$. Оскільки ${\displaystyle M}$ є простим модулем, то ${\displaystyle Jx=M}$.

Тепер введемо відображення ${\displaystyle \alpha :M\to M}$. Оскільки ${\displaystyle Jx=M}$, то кожен елемент у ${\displaystyle M}$ рівний ${\displaystyle jx}$ для деякого ${\displaystyle j\in J}$. Тоді візьмемо ${\displaystyle \alpha (jx)=jm}$. Дане означення є несуперечливим адже якщо ${\displaystyle jx=kx}$ для ${\displaystyle j,k\in J}$, тоді ${\displaystyle (j-k)x=0}$ і звідси ${\displaystyle j-k\in J\cap \mathrm {ann} _{R}(x)=I}$. Тому згідно умови також${\displaystyle (j-k)m=0}$.

Далі доведемо, що ${\displaystyle \alpha \in D}$. Це відображення є очевидно адитивним, і тому потрібно перевірити, що воно є ${\displaystyle R}$-ендоморфізмом. Нехай ${\displaystyle r\in R}$ і ${\displaystyle z\in M}$ і запишемо ${\displaystyle z=jx}$ для деякого ${\displaystyle j\in J}$. Оскільки ${\displaystyle rj\in J}$, то ${\displaystyle \alpha (rz)=\alpha (rjx)=rjm=r\alpha (jx)=r\alpha (z)}$. Тому ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {End} _{R}(M)=D}$. Для завершення цієї частини доведення достатньо показати, що ${\displaystyle m-\alpha (x)}$ належить ${\displaystyle D}$-лінійній оболонці множини ${\displaystyle Y}$. Згідно припущення індукції, це твердження рівнозначне тому, що ${\displaystyle J(m-\alpha x)=0}$. Нехай ${\displaystyle j\in J}$ , тоді ${\displaystyle j(m-\alpha x)=jm-j\alpha x=j\alpha x-\alpha (jx)=0}$, що й треба було довести.

Повертаючись тепер до загального результату, доведення будемо здійснювати індукцією по ${\displaystyle |X|}$. Нехай, як і вище, ${\displaystyle x\in X}$ і позначимо ${\displaystyle Y=X-\{x\}}$. Згідно припущення індукції існує такий елемент ${\displaystyle s\in R}$, що ${\displaystyle \varphi (y)=sy,\;\forall y\in Y}$. Позначимо ${\displaystyle I=\mathrm {ann} _{R}(Y)}$. Для всіх ${\displaystyle i\in I}$ елемент ${\displaystyle r=s+i}$ задовольняє рівності ${\displaystyle \varphi (y)=ry,\;\forall y\in Y}$. Тому для завершення доведення потрібно підібрати ${\displaystyle i\in I}$ так щоб також ${\displaystyle \varphi (x)=rx}$.

Але оскільки ${\displaystyle x}$ є ${\displaystyle D}$-лінійно незалежним від ${\displaystyle Y}$ то з попереднього ${\displaystyle Ix\neq 0}$. Як і в доведенні вище звідси ${\displaystyle Ix=M}$, тому можна вибрати ${\displaystyle i\in I}$, такий що ${\displaystyle ix=\varphi (x)-sx}$, що завершує теорему Джекобсона про щільність.

Коментарі

Зважаючи на простоту лівого ${\displaystyle R}$-модуля ${\displaystyle M}$ кільце ${\displaystyle D=\mathrm {End} _{R}(M)}$ згідно леми Шура є тілом. Для всіх ${\displaystyle m\in M}$ і ${\displaystyle \varphi \in \mathrm {End} _{D}(M)}$ позначимо

${\displaystyle B(m,\varphi ):=\{\psi \in \mathrm {End} _{D}(M)\mid \varphi (m)=\psi (m)\}}$.

Множини ${\displaystyle B(m,\varphi )}$ утворюють підбазу топології ${\displaystyle \mathrm {End} _{D}(M)}$, яка називається скінченною топологією.

Зважаючи на точність модуля оператор ${\displaystyle \ell _{r}\in \mathrm {End} _{D}(M)}$ можна ідентифікувати з елементом ${\displaystyle r\in R}$. Тоді можна записати ${\displaystyle R\subset \mathrm {End} _{D}(M)}$ і як наслідок теореми Джекобсона підмножина ${\displaystyle R\subset \mathrm {End} _{D}(M)}$ буде щільною у скінченній топології., що пояснює назву теорема про щільність.

Справді деяка підмножина у топологічному просторі є щільною тоді і тільки тоді коли перетин цієї множини і непустого перетину скінченної кількості множин із підбази теж є непустою підмножиною. Але ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}B(m_{i},\varphi _{i})}$ є підмножиною відображень ${\displaystyle \psi \in \mathrm {End} _{D}(M)}$ для яких ${\displaystyle \varphi _{i}(m_{i})=\psi (m_{i})}$ для всіх ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$. З теореми Джекобсона випливає існування ${\displaystyle r\in R}$ для якого виконуються ці рівності і тоді ${\displaystyle r\in \bigcap _{i=1}^{n}B(m_{i},\varphi _{i}).}$

Якщо ${\displaystyle M}$ є скінченновимірним векторним простором над ${\displaystyle D}$ і ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{n}\in M}$ є його базисом, тоді ${\displaystyle \mathrm {End} _{D}(M)\cong M_{n}(D)}$ і в базисі ${\displaystyle m_{i}}$ згідно теореми Джекобсона ${\displaystyle R\cong M_{n}(D)}$.

Примітивні кільця

Кільце ${\displaystyle R}$ з одиницею називається примітивним, якщо для нього існує точний, простий модуль. Згідно теореми Джекобсона про щільність, для примітивного кільця ${\displaystyle R}$ існує тіло ${\displaystyle D}$ і ${\displaystyle D}$-модуль ${\displaystyle M}$ такий, що ${\displaystyle R}$ є щільною підмножиною у ${\displaystyle \mathrm {End} _{D}(M)}$. За такий модуль можна взяти точний простий модуль ${\displaystyle M}$, який існує за означенням і тоді теж взяти ${\displaystyle D=\mathrm {End} _{R}(M)}$.

Ця властивість характеризує примітивні кільця, адже якщо ${\displaystyle R\subset \mathrm {End} _{D}(M)}$ є щільним підкільцем для модуля ${\displaystyle M}$ над тілом ${\displaystyle D}$, то ${\displaystyle M}$ є точним простим ${\displaystyle R}$-модулем. Справді нульовий ендоморфізм є єдиним елементом ${\displaystyle \mathrm {End} _{D}(M)}$ який переводить модуль ${\displaystyle M}$ в нуль і оскільки ${\displaystyle R}$ є підмножиною ${\displaystyle \mathrm {End} _{D}(M)}$ то у цьому кільці може бути лише один елемент (а саме нульовий елемент) множення на який обнуляє модуль. Також оскільки ${\displaystyle R}$ є щільним підкільцем і для будь-яких ${\displaystyle m,n\in M}$ існує такий${\displaystyle \varphi \in \mathrm {End} _{D}(M)}$, що ${\displaystyle \varphi (m)=n}$ то існує такий ${\displaystyle r\in R}$, що ${\displaystyle rm=n}$. Тобто завжди ${\displaystyle Rm=M}$ і єдиними підмодулями модуля ${\displaystyle M}$ є ${\displaystyle \{0\}}$ і ${\displaystyle M}$, тобто він є простим ${\displaystyle R}$-модулем.

Ця характеристика примітивних кілець є фактично альтернативною формою твердження теореми Джекобсона..

Теорема Бернсайда

Прикладом застосування теореми Джекобсона є теорема Бернсайда.

• Нехай ${\displaystyle G}$ — група і ${\displaystyle \rho :G\rightarrow \mathrm {GL} (\mathbb {C} ^{n})}$ незвідне n-вимірне представлення цієї групи у векторному просторі над полем комплексних чисел (або довільним іншим алгебрично замкнутим полем). Тоді існують такі елементи ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n^{2}}\in G}$, що ${\displaystyle \rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{n^{2}})}$ є ${\displaystyle \mathbb {C} }$-лінійно незалежними. Інакше кажучи лінійною оболонкою образів представлення є простір всіх ендоморфізмів векторного простору.

Введемо групову алгебру ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ (тобто множину ${\displaystyle \mathbb {C} }$-лінійних комбінацій з елементами групи ${\displaystyle G}$ з очевидними означеннями суми і добутку) і продовжимо відображення ${\displaystyle \rho }$ до гомоморфізму ${\displaystyle \mathbb {C} }$-алгебр ${\displaystyle {\tilde {\rho }}:\mathbb {C} [G]\rightarrow \mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})}$. Позначимо ${\displaystyle R={\tilde {\rho }}(\mathbb {C} [G])\subset \mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})}$. Тоді згідно означень ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ є точним і простим ${\displaystyle R}$-модулем. Тоді ${\displaystyle D=\mathrm {End} _{R}(M)}$ є множиною лінійних операторів, що комутують з усіма елементами ${\displaystyle R}$, а отже із усіма елементами ${\displaystyle \rho (G)}$. Оскільки згідно умови представлення є незвідним, то згідно леми Шура ${\displaystyle D}$ є множиною скалярних відображень і може бути ідентифікованим з ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Згідно теореми Джекобсона таким чином ${\displaystyle R=\mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})}$, тобто ${\displaystyle R}$ є алгеброю всіх ендоморфізмів лінійного простору. Оскільки ${\displaystyle R}$ є лінійною оболонкою образів представлення групи, то серед цих образів можна вибрати базис простору ${\displaystyle \mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})}$.

Примітки

1. Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, , Satz 8.1.7: The Jacobson Density Theorem
2. I. Martin Isaacs: Algebra – A Graduate Course, American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics (2009), Band 100, Theorem (13.14)
3. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, (Pure and Applied Mathematics 127), Theorem 2.1.6
4. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.1.1.
5. Benson Farb, R. Keith Dennis: Noncommutative Algebra, Springer-Verlag (1993), , Theorem 5.2 (Jacobson Density Theorem)
6. Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, , Теорема 8.1.8

Див. також

• Лема Шура

Література

• Farb, Benson; Dennis, R. Keith (1993). Noncommutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Т. 144. Springer-Verlag. ISBN . MR 1233388.
• I.N. Herstein (1968). Noncommutative rings (вид. 1st). The Mathematical Association of America. ISBN .
• I. Martin Isaacs (1993). Algebra, a graduate course (вид. 1st). Brooks/Cole Publishing Company. ISBN .
• Jacobson, N. (1945), Structure theory of simple rings without finiteness assumptions, Trans. Amer. Math. Soc., 57: 228—245, doi:10.1090/s0002-9947-1945-0011680-8, ISSN 0002-9947, MR 0011680
• Robinson, Derek J. S. (1996). A Course in the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics. Т. 80 (вид. 2nd). Springer-Verlag. ISBN . Zbl 0836.20001.
• Rowen, Louis H. (1988), Ring theory. Vol. I, Pure and Applied Mathematics, т. 127, Boston, MA: Academic Press Inc., с. xxiv+538, ISBN , MR 0940245