Теорема Дарбу — теорема в математичному аналізі, що стверджує — якщо деяка функція на замкнутому відрізку є похідною іншої функції, то на цьому відрізку вона набуває усіх проміжних значень між значеннями на краях відрізка. Теорема названа на честь французького математика Жана Гастона Дарбу.
У випадку, якщо похідна є неперервною, дане твердження є наслідком теореми Больцано-Коші. Проте теорема Дарбу справедлива навіть якщо похідна не є неперервною.
Твердження теореми
Нехай — відкритий інтервал, — дійсна диференційована функція. Тоді володіє властивістю середнього значення: якщо і — точки, що належать і , для кожного дійсного числа такого що існує для якого
Доведення
Розглянемо функцію визначену як
де є дійсним числом, що знаходиться строго між і .
Функція є диференційованою на відрізку і
Зокрема, і , тому і згідно з визначенням .
Функція є неперервною на отже досягає на ньому мінімуму (друга теорема Вейєрштрасса).
Функція не досягає мінімуму в точці , оскільки тоді для всіх :
і взявши границю коли прямує до , одержуємо , що неможливо. Так само мінімум неможливий у точці оскільки звідси випливало б .
Отже мінімум досягається в точці, що є внутрішньою у відрізку . Тоді згідно з теоремою Ферма , звідки .
Див. також
Примітки
- G. Darboux, Mémoire sur les fonctions discontinues, Ann. Sci. E.N.S. 4 (1875) 57-112
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Teorema Darbu Teorema Darbu teorema v matematichnomu analizi sho stverdzhuye yaksho deyaka funkciya na zamknutomu vidrizku ye pohidnoyu inshoyi funkciyi to na comu vidrizku vona nabuvaye usih promizhnih znachen mizh znachennyami na krayah vidrizka Teorema nazvana na chest francuzkogo matematika Zhana Gastona Darbu U vipadku yaksho pohidna ye neperervnoyu dane tverdzhennya ye naslidkom teoremi Bolcano Koshi Prote teorema Darbu spravedliva navit yaksho pohidna ne ye neperervnoyu Tverdzhennya teoremiNehaj I displaystyle I vidkritij interval f I R displaystyle f colon I to mathbb R dijsna diferencijovana funkciya Todi f displaystyle f volodiye vlastivistyu serednogo znachennya yaksho a displaystyle a i b displaystyle b tochki sho nalezhat I displaystyle I i a b displaystyle a leq b dlya kozhnogo dijsnogo chisla k displaystyle k takogo sho f a k f b displaystyle f a leqslant k leqslant f b isnuye c a b displaystyle c in a b dlya yakogo f c k displaystyle f c k DovedennyaRozglyanemo funkciyu g a b R displaystyle g a b rightarrow mathbb R viznachenu yak x a b g x f x x k displaystyle forall x in a b g x f x xk de k displaystyle k ye dijsnim chislom sho znahoditsya strogo mizh f a displaystyle scriptstyle f a i f b displaystyle scriptstyle f b Funkciya g displaystyle g ye diferencijovanoyu na vidrizku a b displaystyle a b i x a b g x f x k displaystyle forall x in a b g x f x k Zokrema g a f a k displaystyle scriptstyle g a f a k i g b f b k displaystyle scriptstyle g b f b k tomu g a lt 0 displaystyle scriptstyle g a lt 0 i g b gt 0 displaystyle scriptstyle g b gt 0 zgidno z viznachennyam k displaystyle k Funkciya g displaystyle g ye neperervnoyu na a b displaystyle a b otzhe dosyagaye na nomu minimumu druga teorema Vejyershtrassa Funkciya g displaystyle g ne dosyagaye minimumu v tochci a displaystyle a oskilki todi dlya vsih x a b displaystyle x in a b g x g a x a 0 displaystyle frac g x g a x a geq 0 i vzyavshi granicyu koli x displaystyle x pryamuye do a displaystyle a oderzhuyemo g a 0 displaystyle scriptstyle g a geqslant 0 sho nemozhlivo Tak samo minimum nemozhlivij u tochci b displaystyle b oskilki zvidsi viplivalo b g b 0 displaystyle scriptstyle g b leqslant 0 Otzhe minimum dosyagayetsya v tochci sho ye vnutrishnoyu u vidrizku c a b displaystyle c in a b Todi zgidno z teoremoyu Ferma g c 0 displaystyle g c 0 zvidki f c k displaystyle f c k Div takozhTeorema Bolcano Koshi Teorema RollyaPrimitkiG Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Ann Sci E N S 4 1875 57 112LiteraturaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr