Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
У математиці структурна стійкість — фундаментальна властивість динамічної системи, яка означає, що на якісну поведінку траєкторій не впливають малі збурення (якщо бути точним C1-малі збурення).
Прикладами таких якісних властивостей є кількість фіксованих точок і періодичних орбіт (але не їхніх періодів). На відміну від стійкості за Ляпуновим, яка розглядає збурення початкових умов для фіксованої системи, структурна стійкість має справу зі збуреннями самої системи. Варіанти цього поняття застосовують до систем звичайних диференціальних рівнянь, векторних полів на гладких многовидах і породжених ними потоків і дифеоморфізмів.
Структурно стійкі системи ввели 1937 року Олександр Андронов і Лев Понтрягін під назвою грубі системи. Вони ввели характеристику грубих систем на площині, критерій Андронова — Понтрягіна. У цьому випадку типовими є структурно стійкі системи, які у просторі всіх систем, наділених відповідною топологією, утворюють відкриту щільну множину. У вищих вимірах це більше не виконується, що вказує на те, що типова динаміка може бути дуже складною (див. (дивний атрактор)). Важливий клас структурно стійких систем у довільних розмірностях задають дифеоморфізми і потоки Аносова. Наприкінці 1950-их і на початку 1960-их [en] та [en], мотивовані роботами Андронова та Понтрягіна, розробили та довели [en], першу глобальну характеристику структурної стійкості.
Визначення
Нехай G — відкрита область у Rn із компактним замиканням і гладкою (n−1)-вимірною межею. Розглянемо простір X1(G), що складається з обмежень на G C1-векторних полів на Rn, трансверсальних до межі G і орієнтованих всередину. Цей простір наділено C1-метрикою у звичайний спосіб. Векторне поле F ∈ X1(G) слабко структурно стійке, якщо для будь-якого достатньо малого збурення F1 відповідні потоки топологічно еквівалентні на G: існує гомеоморфізм h: G → G, який перетворює орієнтовані траєкторії F у орієнтовані траєкторії F1. Якщо, крім того, для будь-якого ε > 0 гомеоморфізм h можна вибрати C0ε-близьким до тотожного відображення, коли F1 належить до відповідного околу F залежно від ε, тоді F називають (строго) структурно стійким. Ці визначення прямо поширюються на випадок n-вимірних компактних гладких многовидів із межею. Андронов і Понтрягін спочатку прийняли сильну властивість. Аналогічні визначення можна дати для дифеоморфізмів замість векторних полів і потоків: у цьому випадку гомеоморфізм h повинен бути топологічним спряженням.
Важливо відзначити, що топологічна еквівалентність реалізується зі втратою гладкості: відображення h не може, загалом, бути дифеоморфізмом. Крім того, хоча топологічна еквівалентність зважає на орієнтовані траєкторії, на відміну від топологічної спряженості, вона не сумісна за часом (англ. not time-compatible). Таким чином, відповідне поняття топологічної еквівалентності є значним послабленням наївної C1-спряженості векторних полів. Без цих обмежень жодна система неперервного часу з фіксованими точками або періодичними орбітами не могла б бути структурно стійкою. Слабко структурно стійкі системи утворюють відкриту множину в X1(G), але невідомо, чи є ця властивість у сильному випадку.
Приклади
Необхідні та достатні умови структурної стійкості C1-векторних полів на одиничному диску D, трансверсальних до межі, і на двосфері S2 визначено у фундаментальній роботі Андронова і Понтрягіна. Відповідно до критерію Андронова — Понтрягіна, такі поля є структурно стійкими тоді й лише тоді, коли вони мають тільки скінченну кількість особливих точок (станів рівноваги) і періодичних траєкторій (граничних циклів), які всі є невиродженими (гіперболічними) і не мають з'єднань сідло-сідло. Крім того, неблукаюча множина системи є саме об'єднанням особливих точок і періодичних орбіт. Зокрема, Анрі Пуанкаре виявив, що структурно стійкі векторні поля у двох вимірах не можуть мати траєкторій, що надзвичайно ускладнює динаміку.
Структурну стійкість несингулярних гладких векторних полів на торі можна дослідити за допомогою теорії, яку розробили Пуанкаре та [en]. За допомогою рекурентного відображення Пуанкаре питання зводиться до визначення структурної стійкості дифеоморфізмів кола. Як наслідок [en], C2-дифеоморфізм ƒ кола, що зберігає орієнтацію, є структурно стійким тоді й лише тоді, коли його число обертання є раціональним, ρ(ƒ) = p/q, і періодичні траєкторії, які всі мають період q, є невиродженими: якобіан ƒq у періодичних точках відрізняється від 1 (див. Відображення кола).
[ru] виявив, що гіперболічні автоморфізми тора, такі як [en], є структурно стійкими. Потім він узагальнив це твердження на ширший клас систем, які відтоді називають дифеоморфізмами Аносова і потоками Аносова. Одним із відомих прикладів потоку Аносова є геодезичний потік на поверхні сталої від'ємної кривини, наприклад [en].
Історія та значення
Структурна стійкість системи є обґрунтуванням застосування якісної теорії динамічних систем до аналізу конкретних фізичних систем. Ідея такого якісного аналізу сходить до праці Анрі Пуанкаре про задачу трьох тіл у небесній механіці. Приблизно в той же час Олександр Ляпунов ретельно досліджував стійкість малих збурень окремої системи. На практиці закон еволюції системи (тобто диференціальних рівнянь) ніколи не відомий точно через наявність різних малих взаємодій. Тому важливо знати, що основні риси динаміки однакові для будь-якого невеликого збурення «модельної» системи, еволюція якої керується певним відомим фізичним законом. Далі якісний аналіз розвинув у 1920-х роках Джордж Біркгоф, але вперше формалізували його 1937 року Андронов і Понтрягін, увівши концепцію грубої системи. Андронов, Віттом і Хайкін зразу ж застосували її до аналізу фізичних систем із коливаннями. Термін «структурна стійкість» належить Соломону Лефшецу, який керував перекладом їхньої монографії англійською мовою. Ідеї структурної стійкості в контексті гіперболічної динаміки підхопив у 1960-х роках Стівен Смейл та його школа. Раніше Марстон Морс і [en] започаткували, а Рене Том розробив паралельну теорію стійкості для диференційовних відображень, яка є ключовою частиною [en]. Том передбачав застосування цієї теорії до біологічних систем. І Смейл, і Том працювали в прямому контакті з Маурісіо Пейшото, який наприкінці 1950-их років розробив .
Коли Смейл почав розвивати теорію гіперболічних динамічних систем, він сподівався, що структурно стійкі системи будуть «типовими». Це відповідало б ситуації в низьких вимірах: вимірі два для потоків і вимірі один для дифеоморфізмів. Проте невдовзі він знайшов приклади векторних полів на многовидах вищої розмірності, які неможливо зробити структурно стійкими за допомогою як завгодно малого збурення (такі приклади пізніше побудовано на многовидах розмірності три). Це означає, що у вищих вимірах структурно стійкі системи не є щільними. Крім того, структурно стійка система може мати трансверсальні гомоклінічні траєкторії гіперболічних сідлових замкнутих орбіт і нескінченну кількість періодичних орбіт, навіть якщо фазовий простір є компактним. Найближчим високовимірним аналогом структурно стійких систем, які розглянули Андронов і Понтрягін, є [en].
Див. також
Примітки
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici strukturna stijkist fundamentalna vlastivist dinamichnoyi sistemi yaka oznachaye sho na yakisnu povedinku trayektorij ne vplivayut mali zburennya yaksho buti tochnim C1 mali zburennya Prikladami takih yakisnih vlastivostej ye kilkist fiksovanih tochok i periodichnih orbit ale ne yihnih periodiv Na vidminu vid stijkosti za Lyapunovim yaka rozglyadaye zburennya pochatkovih umov dlya fiksovanoyi sistemi strukturna stijkist maye spravu zi zburennyami samoyi sistemi Varianti cogo ponyattya zastosovuyut do sistem zvichajnih diferencialnih rivnyan vektornih poliv na gladkih mnogovidah i porodzhenih nimi potokiv i difeomorfizmiv Strukturno stijki sistemi vveli 1937 roku Oleksandr Andronov i Lev Pontryagin pid nazvoyu grubi sistemi Voni vveli harakteristiku grubih sistem na ploshini kriterij Andronova Pontryagina U comu vipadku tipovimi ye strukturno stijki sistemi yaki u prostori vsih sistem nadilenih vidpovidnoyu topologiyeyu utvoryuyut vidkritu shilnu mnozhinu U vishih vimirah ce bilshe ne vikonuyetsya sho vkazuye na te sho tipova dinamika mozhe buti duzhe skladnoyu div divnij atraktor Vazhlivij klas strukturno stijkih sistem u dovilnih rozmirnostyah zadayut difeomorfizmi i potoki Anosova Naprikinci 1950 ih i na pochatku 1960 ih en ta en motivovani robotami Andronova ta Pontryagina rozrobili ta doveli en pershu globalnu harakteristiku strukturnoyi stijkosti ViznachennyaNehaj G vidkrita oblast u Rn iz kompaktnim zamikannyam i gladkoyu n 1 vimirnoyu mezheyu Rozglyanemo prostir X1 G sho skladayetsya z obmezhen na G C1 vektornih poliv na Rn transversalnih do mezhi G i oriyentovanih vseredinu Cej prostir nadileno C1 metrikoyu u zvichajnij sposib Vektorne pole F X1 G slabko strukturno stijke yaksho dlya bud yakogo dostatno malogo zburennya F1 vidpovidni potoki topologichno ekvivalentni na G isnuye gomeomorfizm h G G yakij peretvoryuye oriyentovani trayektoriyi F u oriyentovani trayektoriyi F1 Yaksho krim togo dlya bud yakogo e gt 0 gomeomorfizm h mozhna vibrati C0e blizkim do totozhnogo vidobrazhennya koli F1 nalezhit do vidpovidnogo okolu F zalezhno vid e todi F nazivayut strogo strukturno stijkim Ci viznachennya pryamo poshiryuyutsya na vipadok n vimirnih kompaktnih gladkih mnogovidiv iz mezheyu Andronov i Pontryagin spochatku prijnyali silnu vlastivist Analogichni viznachennya mozhna dati dlya difeomorfizmiv zamist vektornih poliv i potokiv u comu vipadku gomeomorfizm h povinen buti topologichnim spryazhennyam Vazhlivo vidznachiti sho topologichna ekvivalentnist realizuyetsya zi vtratoyu gladkosti vidobrazhennya h ne mozhe zagalom buti difeomorfizmom Krim togo hocha topologichna ekvivalentnist zvazhaye na oriyentovani trayektoriyi na vidminu vid topologichnoyi spryazhenosti vona ne sumisna za chasom angl not time compatible Takim chinom vidpovidne ponyattya topologichnoyi ekvivalentnosti ye znachnim poslablennyam nayivnoyi C1 spryazhenosti vektornih poliv Bez cih obmezhen zhodna sistema neperervnogo chasu z fiksovanimi tochkami abo periodichnimi orbitami ne mogla b buti strukturno stijkoyu Slabko strukturno stijki sistemi utvoryuyut vidkritu mnozhinu v X1 G ale nevidomo chi ye cya vlastivist u silnomu vipadku PrikladiNeobhidni ta dostatni umovi strukturnoyi stijkosti C1 vektornih poliv na odinichnomu disku D transversalnih do mezhi i na dvosferi S2 viznacheno u fundamentalnij roboti Andronova i Pontryagina Vidpovidno do kriteriyu Andronova Pontryagina taki polya ye strukturno stijkimi todi j lishe todi koli voni mayut tilki skinchennu kilkist osoblivih tochok staniv rivnovagi i periodichnih trayektorij granichnih cikliv yaki vsi ye nevirodzhenimi giperbolichnimi i ne mayut z yednan sidlo sidlo Krim togo neblukayucha mnozhina sistemi ye same ob yednannyam osoblivih tochok i periodichnih orbit Zokrema Anri Puankare viyaviv sho strukturno stijki vektorni polya u dvoh vimirah ne mozhut mati trayektorij sho nadzvichajno uskladnyuye dinamiku Strukturnu stijkist nesingulyarnih gladkih vektornih poliv na tori mozhna dosliditi za dopomogoyu teoriyi yaku rozrobili Puankare ta en Za dopomogoyu rekurentnogo vidobrazhennya Puankare pitannya zvoditsya do viznachennya strukturnoyi stijkosti difeomorfizmiv kola Yak naslidok en C2 difeomorfizm ƒ kola sho zberigaye oriyentaciyu ye strukturno stijkim todi j lishe todi koli jogo chislo obertannya ye racionalnim r ƒ p q i periodichni trayektoriyi yaki vsi mayut period q ye nevirodzhenimi yakobian ƒq u periodichnih tochkah vidriznyayetsya vid 1 div Vidobrazhennya kola ru viyaviv sho giperbolichni avtomorfizmi tora taki yak en ye strukturno stijkimi Potim vin uzagalniv ce tverdzhennya na shirshij klas sistem yaki vidtodi nazivayut difeomorfizmami Anosova i potokami Anosova Odnim iz vidomih prikladiv potoku Anosova ye geodezichnij potik na poverhni staloyi vid yemnoyi krivini napriklad en Istoriya ta znachennyaStrukturna stijkist sistemi ye obgruntuvannyam zastosuvannya yakisnoyi teoriyi dinamichnih sistem do analizu konkretnih fizichnih sistem Ideya takogo yakisnogo analizu shodit do praci Anri Puankare pro zadachu troh til u nebesnij mehanici Priblizno v toj zhe chas Oleksandr Lyapunov retelno doslidzhuvav stijkist malih zburen okremoyi sistemi Na praktici zakon evolyuciyi sistemi tobto diferencialnih rivnyan nikoli ne vidomij tochno cherez nayavnist riznih malih vzayemodij Tomu vazhlivo znati sho osnovni risi dinamiki odnakovi dlya bud yakogo nevelikogo zburennya modelnoyi sistemi evolyuciya yakoyi keruyetsya pevnim vidomim fizichnim zakonom Dali yakisnij analiz rozvinuv u 1920 h rokah Dzhordzh Birkgof ale vpershe formalizuvali jogo 1937 roku Andronov i Pontryagin uvivshi koncepciyu gruboyi sistemi Andronov Vittom i Hajkin zrazu zh zastosuvali yiyi do analizu fizichnih sistem iz kolivannyami Termin strukturna stijkist nalezhit Solomonu Lefshecu yakij keruvav perekladom yihnoyi monografiyi anglijskoyu movoyu Ideyi strukturnoyi stijkosti v konteksti giperbolichnoyi dinamiki pidhopiv u 1960 h rokah Stiven Smejl ta jogo shkola Ranishe Marston Mors i en zapochatkuvali a Rene Tom rozrobiv paralelnu teoriyu stijkosti dlya diferencijovnih vidobrazhen yaka ye klyuchovoyu chastinoyu en Tom peredbachav zastosuvannya ciyeyi teoriyi do biologichnih sistem I Smejl i Tom pracyuvali v pryamomu kontakti z Maurisio Pejshoto yakij naprikinci 1950 ih rokiv rozrobiv Koli Smejl pochav rozvivati teoriyu giperbolichnih dinamichnih sistem vin spodivavsya sho strukturno stijki sistemi budut tipovimi Ce vidpovidalo b situaciyi v nizkih vimirah vimiri dva dlya potokiv i vimiri odin dlya difeomorfizmiv Prote nevdovzi vin znajshov prikladi vektornih poliv na mnogovidah vishoyi rozmirnosti yaki nemozhlivo zrobiti strukturno stijkimi za dopomogoyu yak zavgodno malogo zburennya taki prikladi piznishe pobudovano na mnogovidah rozmirnosti tri Ce oznachaye sho u vishih vimirah strukturno stijki sistemi ne ye shilnimi Krim togo strukturno stijka sistema mozhe mati transversalni gomoklinichni trayektoriyi giperbolichnih sidlovih zamknutih orbit i neskinchennu kilkist periodichnih orbit navit yaksho fazovij prostir ye kompaktnim Najblizhchim visokovimirnim analogom strukturno stijkih sistem yaki rozglyanuli Andronov i Pontryagin ye en Div takozhGomeostaz Teoriya stijkostiPrimitkiRahman Aminur Blackmore D 2023 The One Dimensional Version of Peixoto s Structural Stability Theorem A Calculus Based Proof SIAM Review angl 65 3 869 886 arXiv 2302 04941 doi 10 1137 21M1426572 ISSN 0036 1445