Стаціонарний розподіл

Стаціонарний розподіл ланцюга Маркова — розподіл імовірності, який не змінюється з часом.

Визначення

Нехай ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$ — однорідний ланцюг Маркова з дискретним часом, зліченним простором станів ${\displaystyle \{1,2,\ldots \}}$, та матрицею перехідних імовірностей ${\displaystyle P=(p_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots }$. Тоді дискретний розподіл ${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\ldots )}$ називають стаціонарним (інваріантним), якщо

${\displaystyle \mathbf {q} P=\mathbf {q} }$ .

Зауваження

Якщо ${\displaystyle \mathbf {q} }$ — початковий розподіл ланцюга ${\displaystyle \{X_{n}\}}$, тобто

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{0}=i)=q_{i},\quad i\in \mathbb {N} }$ ,

те й розподіл решти членів ${\displaystyle X_{n},n\geq 1}$ також збігається з ${\displaystyle \mathbf {q} }$.

Основна теорема про стаціонарні розподіли

Нехай ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$ — ланцюг Маркова з дискретним простором станів. Тоді в цьому ланцюзі існує єдиний стаціонарний розподіл тоді й лише тоді, коли у множині його станів є рівно один додатно зворотний клас.

Див. також

• Ергодичний розподіл