У математиці, середнім логарифмічним називається функція двох невід'ємних чисел, що рівна частці їх різниці та логарифма їх частки. А саме
Середнє логарифмічне зокрема використовується для задач теплообміну і масообміну.
Зв'язок з іншими середніми значеннями
- Середнє логарифмічне двох чисел є меншим, ніж середнє арифметичне, але більшим, ніж середнє геометричне (коли обидва числа є однаковими, то всі три середні є рівними цьому числу):
- Ці нерівності можна отримати, наприклад, як наслідок нерівності Ерміта — Адамара.
Інтерпретація в математичному аналізі
Теорема Лагранжа
середнє логарифмічне є значенням , якщо за функцію взяти :
і звідси
Інтегрування
Середнє логарифмічне також можна інтерпретувати як площу під експоненційною кривою:
Звідси зокрема легко отримати властивість .
Узагальнення
Через теорему Лагранжа
Середнє логарифмічне можна узагальнити на змінні розглянувши узагальнену теорему Лагранжа для розділених різниць для логарифма -ї похідної. Тоді можна ввести
де — розділена різниця логарифму.
Для випадку трьох змінних:
- .
Через інтегральний вираз
Узагальнення інтегралу, який дорівнює середньому логарифмічному дає інше узагальнення. Нехай — симплекс і для деякої міри у якій об'єм симплекса дорівнює 1, отримуємо
За допомогою розділених різниць можна записати
- .
Для випадку трьох змінних:
- .
Див. також
Література
- Niculescu, Constantin P.; Persson, Lars-Erik (2005). Convex Functions and their Applications: A Contemporary Approach. Springer-Verlag. ISBN . Zbl 1100.26002.
- Stolarsky, Kenneth B.: Generalizations of the logarithmic mean [ 6 серпня 2021 у Wayback Machine.], Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, Mar., 1975, pp 87–92
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici serednim logarifmichnim nazivayetsya funkciya dvoh nevid yemnih chisel sho rivna chastci yih riznici ta logarifma yih chastki A sameTrivimirnij grafik serednogo logarifmichnogo Mlm x y lim 3 h x y h 3ln h ln 3 0x 0 y 0 xx y y xln y ln xx y x y gt 0 displaystyle begin array ll M text lm x y amp lim xi eta to x y frac eta xi ln eta ln xi amp begin cases 0 amp x 0 lor y 0 x amp x y frac y x ln y ln x amp x neq y land x y gt 0 end cases end array Serednye logarifmichne zokrema vikoristovuyetsya dlya zadach teploobminu i masoobminu Zv yazok z inshimi serednimi znachennyamiSerednye logarifmichne dvoh chisel ye menshim nizh serednye arifmetichne ale bilshim nizh serednye geometrichne koli obidva chisla ye odnakovimi to vsi tri seredni ye rivnimi comu chislu x y Mlm x y x y2 for all x 0 and y 0 displaystyle sqrt x cdot y leq M text lm x y leq frac x y 2 qquad text for all x geq 0 text and y geq 0 dd Ci nerivnosti mozhna otrimati napriklad yak naslidok nerivnosti Ermita Adamara L x2 y2 L x y x y2 displaystyle frac L x 2 y 2 L x y frac x y 2 Serednye arifmetichne Interpretaciya v matematichnomu analiziTeorema Lagranzha Iz teoremi Lagranzha 3 x y f 3 f x f y x y displaystyle exists xi in x y f xi frac f x f y x y serednye logarifmichne ye znachennyam 3 displaystyle xi yaksho za funkciyu f displaystyle f vzyati ln displaystyle ln 13 ln x ln yx y displaystyle frac 1 xi frac ln x ln y x y i zvidsi 3 x yln x ln y displaystyle xi frac x y ln x ln y Integruvannya Serednye logarifmichne takozh mozhna interpretuvati yak ploshu pid eksponencijnoyu krivoyu L x y 01x1 tyt dt displaystyle L x y int 0 1 x 1 t y t mathrm d t 01x1 tyt dt 01 yx tx dt x 01 yx tdt xln yx yx t t 01 xln yx yx 1 y xln y ln x displaystyle begin array rcl int 0 1 x 1 t y t mathrm d t amp amp int 0 1 left frac y x right t x mathrm d t amp amp x int 0 1 left frac y x right t mathrm d t amp amp frac x ln frac y x left frac y x right t t 0 1 amp amp frac x ln frac y x left frac y x 1 right amp amp frac y x ln y ln x end array Zvidsi zokrema legko otrimati vlastivist L c x c y c L x y displaystyle L c cdot x c cdot y c cdot L x y UzagalnennyaCherez teoremu Lagranzha Serednye logarifmichne mozhna uzagalniti na n 1 displaystyle n 1 zminni rozglyanuvshi uzagalnenu teoremu Lagranzha dlya rozdilenih riznic dlya logarifma n displaystyle n yi pohidnoyi Todi mozhna vvesti LMV x0 xn 1 n 1 n ln x0 xn n displaystyle L mathrm MV x 0 dots x n sqrt n 1 n 1 cdot n cdot ln x 0 dots x n de ln x0 xn displaystyle ln x 0 dots x n rozdilena riznicya logarifmu Dlya vipadku troh zminnih LMV x y z x y y z z x 2 y z ln x z x ln y x y ln z displaystyle L mathrm MV x y z sqrt frac x y cdot y z cdot z x 2 cdot y z cdot ln x z x cdot ln y x y cdot ln z Cherez integralnij viraz Uzagalnennya integralu yakij dorivnyuye serednomu logarifmichnomu daye inshe uzagalnennya Nehaj S displaystyle S simpleks S a0 an a0 an 1 a0 0 an 0 displaystyle S alpha 0 dots alpha n alpha 0 dots alpha n 1 land alpha 0 geq 0 land dots land alpha n geq 0 i dlya deyakoyi miri da displaystyle mathrm d alpha u yakij ob yem simpleksa dorivnyuye 1 otrimuyemo LI x0 xn Sx0a0 xnan da displaystyle L mathrm I x 0 dots x n int S x 0 alpha 0 cdot dots cdot x n alpha n mathrm d alpha Za dopomogoyu rozdilenih riznic mozhna zapisati LI x0 xn n exp ln x0 ln xn displaystyle L mathrm I x 0 dots x n n cdot exp ln x 0 dots ln x n Dlya vipadku troh zminnih LI x y z 2 x ln y ln z y ln z ln x z ln x ln y ln x ln y ln y ln z ln z ln x displaystyle L mathrm I x y z 2 cdot frac x cdot ln y ln z y cdot ln z ln x z cdot ln x ln y ln x ln y cdot ln y ln z cdot ln z ln x Div takozhSerednye arifmetichne Serednye geometrichneLiteraturaNiculescu Constantin P Persson Lars Erik 2005 Convex Functions and their Applications A Contemporary Approach Springer Verlag ISBN 0 387 24300 3 Zbl 1100 26002 Stolarsky Kenneth B Generalizations of the logarithmic mean 6 serpnya 2021 u Wayback Machine Mathematics Magazine Vol 48 No 2 Mar 1975 pp 87 92