Рівнобічна трапеція або рівнобедрена трапеція, в геометрії Евкліда, це опуклий чотирикутник з лінією симетрії, що ділить навпіл одну пару протилежних сторін. У будь-якій рівнобічній трапеції дві протилежні сторони (основи) паралельні, а дві інші сторони (ребра) мають однакову довжину (Таку ж властивість має паралелограм). Діагоналі також однакової довжини. Кути при основі рівнобедреної трапеції рівні (насправді існують дві пари рівних кутів при основі, де один кут при основі є суміжним кутом для іншого базового, при іншій основі).
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkkxTDBsemIzTmpaV3hsYzE5MGNtRndaWHB2YVdRdWMzWm5Mekl3TUhCNExVbHpiM05qWld4bGMxOTBjbUZ3WlhwdmFXUXVjM1puTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
Рівнобічна трапеція є окремим випадком трапеції.
Окремі випадки
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.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.png)
Прямокутники та квадрати зазвичай вважають окремими випадками рівнобедреної трапеції, але деякі джерела виключають їх. Іншим окремим випадком є трапеція з трьома рівними сторонами, часом також відома як тристороння трапеція. Вона може також розглядатися як відрізана частина з правильного багатокутника з 5 сторонами або більшою кількістю сторін, від якого відсікаються 4 послідовні вершини.
Самоперетини
Будь-який чотирикутник без самоперетинів та з лише однією віссю симетрії повинен бути або рівнобедреною трапецією або дельтоїдом. Проте, якщо допускаються перетини сторін, то множина симетричних чотирикутників повинна бути розширена за рахунок включення також рівнобедрених трапецій з перетинами та чотирикутниками з перетинами, у яких схрещені сторони мають однакову довжину, а інші сторони паралельні, і антипаралелограми — перехрещенні чотирикутниками, в яких протилежні сторони мають рівну довжину.
Кожен антипаралелограм має рівнобедрену трапецію, як його опуклу оболонку, і може бути утворений з діагоналей і непаралельних сторін рівнобедреної трапеції.
![]() | ![]() | ![]() |
Опукла рівнобедрена трапеція | Рівнобедрена трапеція, що перетинається | Антипаралелограм |
---|
Властивості
Якщо відомо, що чотирикутник є трапецією, то не варто перевіряти, що ребра однакової довжини для того, щоб гарантувати, що це рівнобедрена трапеція (взагалі це не так, оскільки ромб є окремим випадком трапеції з ребрами однакової довжини, але не є рівнобедреною трапецією, тому що в ньому відсутня лінія симетрії, яка проходить через середини протилежних сторін); для того, щоб виокремити рівнобедрену трапецію серед трапецій достатньо щоб виконувалась якась одна умова з нижче наведених:
- Діагоналі мають однакову довжину.
- Кути при основі мають однакову міру.
- Відрізок, який з'єднує середини паралельних сторін перпендикулярний до основ.
- Протилежні кути є суміжними, що в свою чергу означає, що рівнобедрені трапеції є вписаними чотирикутниками.
- Діагоналі ділять одна одну на відрізки з попарно рівними довжинами; з точки зору малюнку, наведеного нижче, AE = DE, BE = CE (додаткова умова AE ≠ CE дозволяє виключити прямокутники).
Якщо прямокутники включені в клас трапецій, то можна стисло визначити рівнобедрену трапецію як «вписаний чотирикутник з рівними діагоналями», або як «вписаний чотирикутник з парою паралельних сторін» або як «опуклий чотирикутник з лінією симетрії, що проходить через середини протилежних сторін».
Кути
У рівнобічної трапеції кути при основі попарно однакові. На малюнку нижче кути ∠ABC ,та∠DCB є тупими кутами однакової величини, в той час як кути ∠BAD та ∠CDA — гострі кути, також однакової величини. Оскільки лінії AD та BC паралельні, то кути, прилеглі до протилежних основ є суміжними, тобто кути ∠ABC + ∠BAD = 180°.
Діагоналі та висоти
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelZsTDBsemIzTmpaV3hsYzNSeWFXRnVaMnhsTWk1emRtY3ZNelV3Y0hndFNYTnZjMk5sYkdWemRISnBZVzVuYkdVeUxuTjJaeTV3Ym1jPS5wbmc=.png)
Діагоналі рівнобедреної трапеції мають однакову довжину, тобто кожна рівнобедрена трапеція є чотирикутником з рівними діагоналями. Як видно на зображенні, діагоналі AC і BD мають однакову довжину (AC = BD) і ділять одна одну на відрізки однакової довжини (AE = DE та BE = CE). Відношення в якому кожна діагональ ділиться, дорівнює відношенню довжин паралельних сторін, які вони перетинають
Довжина кожної діагоналі, відповідно до теореми Птолемея, розраховується за формулою:
Де а і b — довжини паралельних сторін AD і BC, і c — довжина кожної з бічних сторін AB та CD. Висота, відповідно до теореми Піфагора, розраховується за формулою:
Відстань від точки Е до основи AD розраховується за формулою:
Де а і b — довжини паралельних сторін AD і BC, і h — висота трапеції .
Площа рівнобічної трапеції
Площа рівнобедреної (як і будь-якої) трапеції дорівнює середній лінії помноженій на висоту. На малюнку праворуч, якщо записати AD = a, та BC = b, і висота h є довжиною відрізка прямої між AD і BC, яка перпендикулярна до них, тоді площа K знаходиться так:
Якщо замість висоти трапеції, відома довжина бічної сторони AB =CD = c, то площа може бути обчислена з використанням формули Брахмагупти для площі вписаного чотирикутника, яка у випадку двох рівних сторін спрощується до:
де — півпериметр трапеції. Ця формула аналогічна формулі Герона для обчислення площі трикутника. Попередня формула для площа також може бути записана у вигляді:
Описане коло
Радіус описаного кола розраховується за формулою:
У прямокутнику, a = b, і вираз спрощується до: .
Див. також
- (Описана трапеція)
Примітки
- Геометрія для загальноосвітніх навчальних закладів з поглибленим вивченням математики: підруч. для 8 кл./ А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. Х.: Гімназія, 2016. стор. 56.
- (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 19 липня 2011. Процитовано 4 вересня 2017.
- Trapezoid at Math24.net: Formulas and Tables [1] [ 2018-06-28 у Wayback Machine.] Accessed 1 July 2014.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет