Розподіл Вейбулла

Розподіл Вейбулла (англ. Weibull distribution) — неперервний розподіл ймовірностей. Названий на честь Валодді Вейбулла (англ. Waloddi Weibull), котрий навів детальне описання розподілу в 1951 році, хоча першим його відкрив Фреше (1927) а застосував Розін та Рамлєр в 1933 для опису розподілу розміру гранул. Функція щільності розподілу Вейбулла x має вигляд::

Вейбул (2-параметричний)
[[File:cdf_image = parameters =${\displaystyle \lambda >0\,}$ () ${\displaystyle k>0\,}$ shape (real)|frameless]]
Параметри	{{{parameters}}}
Носій функції	${\displaystyle x\in [0;+\infty )\,}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geqslant 0\\0&x<0\end{cases}}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle 1-e^{-(x/\lambda )^{k}}}$
Середнє	${\displaystyle \lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}$
Медіана	${\displaystyle \lambda (\ln(2))^{1/k}\,}$
Мода	${\displaystyle \lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}\,}$ if ${\displaystyle k>1}$
Дисперсія	${\displaystyle \lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}\,}$
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$
Коефіцієнт ексцесу	(see text)
Ентропія	${\displaystyle \gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}$
Твірна функція моментів (mgf)	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)}$
Характеристична функція	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)}$

${\displaystyle f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geqslant 0\\0&x<0\end{cases}}}$

де ${\displaystyle k>0}$ визначає форму графіку, а ${\displaystyle \lambda >0}$ шкалу розподілу.

Визначення

Нехай розподіл випадкової величини ${\displaystyle X}$ задається щільністю ${\displaystyle f_{X}(x)}$, що має вид:

${\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}},&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{matrix}}\right..}$

Тоді говорять, що ${\displaystyle X}$ має розподіл Вейбула. Пишуть: ${\displaystyle X\sim \mathrm {W} (k,\lambda )}$.

Моменти

Моменти випадкової величини ${\displaystyle X}$, що має розподіл Вейбулла мають вид

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)}$,

звідки

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)}$,

${\displaystyle \mathrm {D} [X]=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}$.

Зв'язок з іншими розподілами

• Експоненційний розподіл є частковим випадком розподілу Вейбулла:

${\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )\equiv \mathrm {W} \left(1,{\frac {1}{\lambda }}\right)}$.

• Метод зворотного перетворення: якщо ${\displaystyle U\sim \mathrm {U} (0,1)}$, те

${\displaystyle \lambda \left(-\ln U\right)^{1/k}\sim \mathrm {W} (k,\lambda )}$.

Див. також

• Часовий ряд
• Експоненційний розподіл

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)