Простір Соболєва — функціональний простір, що складається з функцій із простору Лебега (), які мають заданого порядку з . При простори Соболєва є банаховими просторами, а при — гільбертовими просторами. Для гільбертових просторів Соболєва також прийнято позначення .
Для області норма у просторі Соболєва порядку та підсумованих зі степенем вводиться за такою формою:
а при норма виглядає так:
де — це мультиіндекс, а операція є слабка похідна по мультиіндексу.
Простори Соболєва були введені радянським математиком Сергієм Львовичем Соболєвим та потім названі у його честь.
Вступ та історія питання
Ідея про узагальнення розв'язків диференціальних рівнянь з частинними похідними починає проникати в математичну фізику в 20-х роках XX ст. З одного боку, необхідність в розширенні класів функцій виникає в багатовимірних варіаційних задачах, а з іншого, — при дослідженні хвильового рівняння і рівнянь гідродинаміки. В цих задачах класи неперервних функцій були недостатніми.
В роботі [ru][ru] при дослідженні мінімуму квадратичного функціоналу були введені класи функцій, які збігаються з просторами Соболєва — просторами Соболєва першого порядку, які мають нульовий слід на границі області. Проте в цих роботах (так званих прямих варіаційних задачах) ще не було розуміння того, що простори Соболєва другого порядку є класом коректності для еліптичних крайових задач, відповідним варіаційним задачам. В 1936 році в основоположній роботі Соболєва вводяться узагальнені розв'язки основних видів лінійних рівнянь з частинними похідними другого порядку (хвильове рівняння, рівняння Лапласа і рівняння теплопровідності) з класів функцій, які потім були названі просторами Соболєва. В цих роботах узагальнені розв'язки розуміються як ліміти класичних рівнянь, до того ж ліміти розглядаються в класах інтегровних функцій. Таке розширення понять дає змогу досліджувати задачі з доволі загальними правими частинами і коефіцієнтами рівнянь.
У 1930-х роках починається всестороннє дослідження просторів Соболєва. Найбільш важливими були роботи [ru] про компактність вкладання (теорема Реліха — Гордінга) і теореми про вкладання (теореми Соболєва і Соболєва — Кондрашова). Ці теореми дали змогу побудувати узагальнені розв'язки для багатьох задач математичної фізики, а також встановити зв'язок з класами неперервних функцій.
У 1940-х роках Ладиженською було запропоновано визначати узагальнені розв'язки за допомогою інтегральних тотожностей для функцій з просторів Соболєва. Використання інтегральних тотожностей виявилося дуже зручним для дослідження гладкості розв'язків рівнянь з частинними похідними. У наш час визначення узагальнених рішень через інтегральні тотожності є стандартним методом постанови задач.
Простори Соболєва мають принципове значення не лише у теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, але ще і в варіаційних задачах, теорії функцій, теорії наближень, методах обчислення, теорії керування та багатьох інших розділах аналізу і його додатків.
Властивості просторів Соболєва
- Для будь-якої області
з
випливає, що
.
- Якщо
і
, то
.
- Якщо
фінітна в
, то продовження цієї функції нулем належить
для будь-якої
.
- Нехай
є гладке і взаємно однозначне відображення області
на область
і
, тоді функція
належить простору
.
- Простори Соболєва
є сепарабельними просторами.
- Якщо межа області
задовольняє умові Ліпшица, то множина
щільна в
.
- Нехай
, де
— обмежена область в
, зіркова відносно деякого шару. Якщо
, то їх поточковий добуток
, визначений майже усюди в
, належить простору
, більш того, існує додатна константа
, яка залежить лише від
така, що
, іншими словами,
є комутативною банаховую алгеброю, добуток в котрій узгоджений з нормою
.
- Простори
при
є .
- Простори
є гільбертовими просторами.
Простори Соболєва
В крайових задачах для диференціальних рівнянь в часткових похідних важливу роль грають простори функцій із простора Соболєва, які мають нульові граничні умови. Ці простори позначаються через і вводяться як замикання множини
по нормі простору
, де
є множина фінітних в
нескінченно диференційованих функцій.
Простори є замкнутими підпросторами в
. За наявністю визначеної гладкості границі області
цей простір збігається з множиною функцій із
, які мають нульовий слід на межі області
и нульовий слід усіх узагальнених похідних аж до
-го порядку.
Простори Соболєва в усьому просторі
Простори Соболєва можна визначити за допомогою перетворення Фур'є. Для будь-якої функції
визначено перетворення Фур'є
, при цьому,
. Простір Соболєва
визначається таким чином:
.
Простори Соболєва на торі
Нехай —
-мірний тор. Простір Соболєва на торі
, тобто
-періодичних за всіма змінними функцій, можна визначити за допомогою багатовимірних рядів Фур'є:
.
Простори Соболєва дробового порядку
Для того щоб не було плутанини, нецілочисельне k будемо позначати як s, тобто або
.
У випадку 0<s<1 простір складається з функцій
,
таких, що
Для нецілого s>1 покладемо , де
— ціла частина s. Тоді
складається з елементів
таких, що
для
з нормою
Простори Соболєва від'ємного порядку
При розгляді узагальнених рішень диференціальних рівнянь з частинними похідними природним чином виникає простори Соболєва від'ємного порядку. Простір визначається за формулою:
де штрих означає сполучений простір. При цьому отримаємо, що простори Соболєва від'ємного порядку представляють собою простір узагальнених функцій. Так, наприклад, простір містить
-функцію Дірака.
Теореми вкладання
Припускаючи, що межа області задовольняє достатнім умовам гладкості, мають місце такі теореми вкладання.
Теорема вкладання Соболєва
Якщо , то має місце неперервне вкладення
.
Тут є цілим і невід'ємним, а
може бути і дробовим (простори Соболєва дробового порядку). Ця теорема відіграє важливу роль у теорії функціональних просторів і диференціальних рівнянь з частинними похідними.
Теорема Реліха — Кондрашова
Нехай область обмежена,
,
і
, тоді: вкладання
.
За допомогою теорем про компактність вкладання просторів Соболєва доводяться чимало теорем існування диференціальних рівнянь з частинними похідними.
Показові приклади
Простори Соболєва мають істотні відміни від просторів неперервно диференційованих функцій.
Приклад розривної функції
Нехай — коло на площині. Функція
належить простору
, але має розрив другого роду в точці
.
Простори Соболєва в одномірному випадку
Функції з простору є неперервними. Для будь-яких двох функцій з простору
добуток цих функцій також належить
. Тому простір Соболєва першого порядку на відрізку є банаховою алгеброю.
Див. також
- (Теорема Трудінгера)
Примітки
- Friedrichs K.O. Math. Ann. v. 109 (1934), 465–487.
- S. Soboleff, «Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales», Матем. сб., 1(43):1 (1936), 39-72
Література
- Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988
- Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
- R. A. Adams, J. J. F. Fournier, 2003. Sobolev Spaces. Academic Press.
- Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет