Простір Орліча

Простір Орлича — лінійний нормований простір на множині вимірних функцій. Є узагальненням простору Лебега. Названі іменем польського математика Владислава Орліча.

Означення

Нехай ${\displaystyle M}$ — деяка фіксована ${\displaystyle N}$-функція, а ${\displaystyle N}$ — додаткова до неї ${\displaystyle N}$-функція; ${\displaystyle G}$ — множина скінченної міри.

Простором Орлича ${\displaystyle L_{M}^{*}}$ називається сукупність всіх вимірних функцій ${\displaystyle u(x)}$, що задовольняють умові ${\displaystyle (u,v)=\int _{G}u(x)v(x)dx<\infty }$ при всіх ${\displaystyle v(x)}$, таких що ${\displaystyle \int _{G}N[u(x)]dx<\infty }$.

У просторі Орлича задана норма Орлича: ${\displaystyle \|u\|_{M}=\sup _{\rho (v,N)\leqslant 1}|\int _{G}u(x)v(x)dx|}$.

Див. також

• Теорема Трудінгера

Примітки

1. ${\displaystyle N}$ — функцією називається функція M(u), що допускає представлення ${\displaystyle M(u)=\int _{0}^{|u|}p(t)dt}$, де ${\displaystyle p(t)}$ — додатня при ${\displaystyle t>0}$, неперервна праворуч при ${\displaystyle t\geqslant 0}$, неспадна функція, що задовольняє умовам: ${\displaystyle p(0)=0,p(\infty )=\lim _{t\to \infty }p(t)=\infty }$.
2. Взаємно додатковими називаються ${\displaystyle N}$ — функції ${\displaystyle M(u),N(v)}$, що задовольняють рівнянням ${\displaystyle M(u)=\int _{0}^{|u|}p(t)dt,N(v)=\int _{0}^{|v|}q(s)ds}$, де ${\displaystyle p(t)}$ — додатня при ${\displaystyle t>0}$, неперервна праворуч при ${\displaystyle t\geqslant 0}$, неспадна функція, що задовольняє умовам: ${\displaystyle p(0)=0,p(\infty )=\lim _{t\to \infty }p(t)=\infty }$, а ${\displaystyle q(s)}$ визначена при ${\displaystyle s\geqslant 0}$ рівністю ${\displaystyle q(s)=\sup _{p(t)\leqslant s}t}$.

Джерела

• Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича — М. : Физматлит, 1958. — С. 271.