Програма мінімальних моделей

Програма мінімальних моделей — це частина біраціональної класифікації алгебричних многовидів. Її мета — побудова якомога простішої біраціональної моделі будь-якого комплексного проєктивного многовиду. Предмет ґрунтується на класичній біраціональній геометрії поверхонь, що вивчається італійською школою, і нині перебуває в активному вивченні.

Основні принципи

Основна ідея теорії полягає в спрощенні біраціональної класифікації многовидів шляхом знаходження в кожному класі біраціональної еквівалентності многовиду, «простого, наскільки це можливо». Точне значення цієї фрази розвивається разом з розвитком самої теорії. Спочатку для поверхонь це означало знаходження гладкого многовиду ${\displaystyle X}$, для якого будь-який біраціональний морфізм ${\displaystyle f:X\rightarrow X'}$ з гладкою поверхнею ${\displaystyle X'}$ є ізоморфізмом.

У сучасному формулюванні метою теорії є таке. Припустимо, що дано проєктивний многовид ${\displaystyle X}$, який, для простоти, є несингулярним. Можливі два варіанти:

• Якщо ${\displaystyle X}$ має ^[en] ${\displaystyle \kappa (X,K_{X})=-\infty }$, ми хочемо знайти многовид ${\displaystyle X^{\prime }}$, біраціональний до ${\displaystyle X}$, і морфізм ${\displaystyle f:X'\rightarrow Y}$ у проєктивний многовид ${\displaystyle Y}$, такий, що ${\displaystyle \mathrm {dim} Y<\mathrm {dim} X^{\prime }}$, з ^[en] ${\displaystyle -K_{F}}$ шару загального вигляду ${\displaystyle F}$, який є рясним. Такий морфізм називають простором розшарування Фано.
• Якщо ${\displaystyle \kappa (X,K_{X})}$ не менше від 0, ми хочемо знайти ${\displaystyle X'}$, біраціональний ${\displaystyle X}$ з канонічним ^[en] ${\displaystyle K_{X^{\prime }}}$. У цьому випадку ${\displaystyle X'}$ є мінімальною моделлю для ${\displaystyle X}$.

Питання про несингулярності многовидів ${\displaystyle X'}$ і ${\displaystyle X}$, наведених вище, є важливим. Виглядає природним сподіватись, що якщо ми починаємо з гладкого ${\displaystyle X}$, ми завжди знайдемо мінімальну модель або простір розшарування Фано всередині категорії гладких многовидів. Однак це не так, так що стає необхідним розглядати сингулярні многовиди. Сингулярності, що виникають, називають ^[en].

Мінімальні моделі поверхонь

Будь-яка незвідна комплексна алгебрична крива є біраціональною до єдиної гладкої проєктивної кривої, так що теорія для кривих тривіальна. Випадок поверхні спочатку дослідили італійці в кінці XIX — початку XX століття. Кастельнуово, по суті, описує процес побудови мінімальної моделі будь-якої гладкої поверхні. Теорема стверджує, що будь-який нетривіальний біраціональний морфізм ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$повинен стягувати −1-криву в гладку точку, і навпаки, будь-яку таку криву можна гладко стягнути. Тут −1-крива є гладкою раціональною кривою C із самоперетином C.C = −1. Будь-яка така крива повинна мати K.C=−1, що показує, що якщо канонічний клас є неф-класом, то поверхня не має −1-кривих.

З теореми Кастельнуово випливає, що для побудови мінімальної моделі для гладкої поверхні, ми просто стягуємо всі −1-криві на поверхні, і отриманий многовид Y або є (єдиною) мінімальною моделлю з неф-класом K, або лінійчастою поверхнею (яка є такою ж, як і 2-вимірний простір розшарування Фано, і є або проєктивною площиною, або лінійчастою поверхнею над кривою). У другому випадку лінійчаста поверхня, біраціональна до X, не єдина, хоча існує єдина поверхня, ізоморфна добутку проєктивної прямої і кривої.

Мінімальні моделі в просторах високих розмірностей

У розмірностях, більших від 2, залучається потужніша теорія. Зокрема, існують ^[en] ${\displaystyle X}$, які не біраціональні будь-якому гладкому многовиду ${\displaystyle X'}$ з канонічним неф-класом. Головне концептуальне просування 1970-х і ранніх 1980-х років — побудова мінімальних моделей залишається можливим з ретельним описом можливих сингулярностей моделей. (Наприклад, ми хочемо зрозуміти, чи є ${\displaystyle K_{X'}}$ неф-класом, так що число перетинів ${\displaystyle K_{X'}{\cdot }C}$ має бути визначеним. Отже, принаймні, наші многовиди повинні мати ${\displaystyle nK_{X'}}$ дивізор Картьє для деякого додатного числа ${\displaystyle n}$.)

Першим ключовим результатом є ^[en] Морі, яка описує структуру конуса кривих ${\displaystyle X}$. Коротко, теорема показує, що починаючи з ${\displaystyle X}$, можна за індукцією побудувати послідовність многовидів ${\displaystyle X_{i}}$, кожен з яких «ближчий», ніж попередній, до неф-класу ${\displaystyle K_{X_{i}}}$. Однак процес може ускладнитись — у деякій точці многовид ${\displaystyle X_{i}}$ може стати «занадто сингулярним». Гіпотетичне вирішення цієї проблеми — ^[en][], вид хірургії корозмірності 2 на ${\displaystyle X_{i}}$. Неясно, чи існує необхідна перебудова, або що процес завжди зупиниться (тобто що досягнемо мінімальної моделі ${\displaystyle X'}$ за скінченне число кроків.) Морі показав, що перебудови існують у 3-вимірному випадку.

Існування загальніших лог-перебудов з'ясував ^[en] для розмірностей три і чотири. Згодом це узагальнили для вищих розмірностей Біркар, Каскіні, Хекон, і Маккернан, спираючись на раніші роботи Шокурова, Хекона і Маккернана. Вони поставили також деякі інші задачі, зокрема узагальнення лог-канонічних кілець та існування мінімальних моделей для лог-многовидів загального вигляду.

Завдання зупинки лог-перебудов у просторах вищої розмірності залишається об'єктом активного дослідження.

Примітки

1. Mori, 1988.

Література

• Шокуров В.В. Трехмерные логперестройки // Изв. РАН. — 1992. — Т. 56, вип. 1 (19 червня). — С. 105–203. — (Сер. матем.).
• Caucher Birkar, Paolo Cascini, Christopher Hacon, James McKenan. Existence of minimal models for varieties of log general type // . — 2010. — Т. 23, вип. 2 (19 червня). — С. 405–468. — DOI:10.1090/S0894-0347-09-00649-3.
• Herbert Clemens, János Kollár, Shigefumi Mori. Higher-dimensional complex geometry // Astérisque. — 1988. — Вип. 166 (19 червня). — С. 144. — ISSN 0303-1179.
• Osamu Fujino. New developments in the theory of minimal models // Sugaku. — Mathematical Society of Japan, 2009. — Т. 61, вип. 2 (19 червня). — С. 162–186. — ISSN 0039-470X.
• János Kollár. The structure of algebraic threefolds: an introduction to Mori's program // American Mathematical Society. Bulletin. New Series. — 1987. — Т. 17, вип. 2 (19 червня). — С. 211–273. — ISSN 0002-9904. — DOI:10.1090/S0273-0979-1987-15548-0.
• János Kollár. Minimal models of algebraic threefolds: Mori's program // Astérisque. — 1989. — Вип. 177 (19 червня). — С. 303–326. — ISSN 0303-1179.
• János Kollár. Rational curves on algebraic varieties. — Berlin : Springer-Verlag, 1996. — Т. 32. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]) — . — DOI:10.1007/978-3-662-03276-3.
• János Kollár, Shigefumi Mori. Birational geometry of algebraic varieties. — Cambridge University Press, 1998. — Т. 134. — (Cambridge Tracts in Mathematics) — .
• Kenji Matsuki. Introduction to the Mori program. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 2002. — (Universitext) — .
• Shigefumi Mori. Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds. — . — American Mathematical Society, 1988. — Т. 1. — С. 117–253. — DOI:10.2307/1990969.
• Yujiro Kawamata. Mori theory of extremal rays // Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 1994. — .