Перетворення подібності

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Подібність.

Подібність — перетворення евклідового простору, при якому для будь-яких двох точок ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ та їх образів ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ має місце співвідношення ${\displaystyle |A'B'|=k|AB|}$, де ${\displaystyle k}$ — додатне число, яке називають коефіцієнтом подібності.

Приклади

• Кожна гомотетія є подібністю.
• Кожний рух (в тому числі і тотожний) також можна розглядати як перетворення подібності з коефіцієнтом ${\displaystyle k=1}$.

Подібні фігури мають однакові кольори.

Зв'язані визначення

• Фігура ${\displaystyle F}$ називається подібною до фігури ${\displaystyle F'}$, якщо існує перетворення подібності, при якому ${\displaystyle F\to F'}$.
  • Подібність фігур є відношенням еквівалентності.

Властивості

• Подібність є взаємно однозначне перетворення евклідового простору на себе.
• Подібність зберігає порядок точок на прямій, тобто якщо точка ${\displaystyle B}$ лежить між ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle C}$ і ${\displaystyle B'}$, ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle C'}$ — відповідні їх образи при деякому перетворенні подібності, тоді ${\displaystyle B'}$ також лежить між точками ${\displaystyle A'}$ і ${\displaystyle C'}$.
• Точки, що не лежать на прямій, переходять в точки, що не лежать на прямій.
• Подібність перетворює пряму в пряму, відрізок у відрізок, промінь в промінь, кут в кут, коло в коло.
• При подібності кут зберігає величину.
• Подібність з коефіцієнтом ${\displaystyle k\not =1}$, яка перетворює пряму в паралельну їй пряму, є гомотетією з коєфіцієнтом ${\displaystyle k}$ або ${\displaystyle -k}$.
  • Кожну подібність можна розглядати як композицію руху ${\displaystyle D}$ і деякої гомотетії ${\displaystyle \Gamma }$ з додатним коефіцієнтом.
  • Подібність називається власною (невласною), якщо рух ${\displaystyle D}$ є власним (невласним). Власна подібність зберігає орієнтацію фігур, а невласна — змінює орієнтацію на протилежну.
• Два трикутники є подібними, якщо
  • їх відповідні кути однакові
  • сторони пропорційні (див. подібність трикутників).
• Площі подібних фігур пропорційні квадратам їх схожих ліній (наприклад, сторін). Так, площі кіл пропорційні відношенню квадратів їх діаметрів (або радіусів).

Узагальнення

Аналогічно визначається подібність (зі збереженням вказаних вище властивостей) в 3-вимірному евклідовому просторі, а також в ${\displaystyle n}$-вимірному евклідовому та псевдо-евклідовому просторі.