У цій статті відсутній , що має містити найважливіших аспектів статті. |
Визначення
Нижче дотримуємося нумерації формул § 3 розділу IV в [1], стор. 129-147, чи [2], стор. 154-170.
Нехай
— задача Коші (ЗК) для звичайного лінійного диференціального рівняння (ЗЛДР), коефіціенти якого
тобто — неперервні функції, — довільні дійсні числа.
Перетворення Дзядика ставить у відповідність до задачі Коші звичайного лінійного диференціального рівняння (ЗК ЗЛДР) лінійне інтегральне рівняння
У [3] знайдено просту симетричну (distinct) форму для формул (24), (25) та (15) у [2, § IV.3]:
denoting the -th integral of the function
Theorem. ... is equivalent to the integral equation.
- Приклад
Підстановкою
отримуємо спрощене рівняння Бесселя
для якого за формулами (24) та (25) обчислюємо
звідки інтегральна форма спрощеного рівняння Бесселя має вигляд:
Використання
Перетворення Дзядика ЗК ЗЛДР в інтегральне рівняння є першою частиною розробленого ним апроксимаційного методу рішення диференціальних рівнянь, або -методу. Цитати.
Начиная с 1969 г., В. К. Дзядык разработал и глубоко обосновал так называемый аппроксимационный метод решения дифференциальных уравнений. Этот метод даёт возможность эффективно строить при помощи ЭВМ (а иногда и без них) многочлены, а также кусочно-многочленные агрегаты хорошего приближения для функций, которые являются решениями следующих задач: задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, задача Гурса, различные задачи для уравнений с запаздывающим аргументом, краевые задачи для обыкновенных уравнений и др.
Применение этого метода к линейным дифференциальным уравнениям с многочленными коэффициентами вида
, где и — многочлены, позволило создать и обосновать простые алгоритмы для эффективного построения алгебраических многочленов , осуществляющих на при в наиболее важных случаях такое приближение искомого решения уравнения , которое с точностью до множителя, не превышающего , совпадает с величиной наилучшего приближения функции многочленами степени .
Корнейчук Н. П., Никольский С. М., УМН 34:4 (1979), на стор. 233.
За допомогою а-методу було знайдено та виправлено помилки у таблицях (напр., у таблицях Корн та Корн).
Цей метод дає асимптотично () найкращу можливу точність наближення, тому працює навіть тоді, коли інші методи не працюють (тобто дають неприпустиму похибку або розбіжні).
Визнання
Дзядик В. К., Коновалов В. М., Шевчук І. О. у 1991 році за цикл праць «Наближення диференційовних функцій та апроксимаційні методи розв'язання диференціальних та інтегральних рівнянь» стали лауреатами премії НАН України імені М. М. Крилова.
Джерела
- Дзядык В. К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений / Ин-т математики АН УССР. — К. : Наукова думка, 1988. — 304 с. (рос.)
- Dzyadyk V. K. Approximation Methods for Solutions of Differential and Integral Equations. — VSP, Utrecht-Tokyo, 1995. — 325 p. — . (англ.)
- Dzyadyk Yu. V. Some approximation properties of the a- and AI- quadrature polynomials // Функціональні методи у теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі та статистиці. Тези доповідей // Київський Національний університет, Київ, 2001, с. 22–23
Посилання
- Корнейчук Н. П., Никольский С. М., Шевчук И. А. Владислав Кириллович Дзядык (к шестидесятилетию со дня рождения) // Успехи математических наук. — 1979. — 34. — № 4 (208). — C.231-237.
- Биленко В. И., Коновалов В. Н., Луковский И. А., , Пухов Г. Е., Ронто Н. И. Аппроксимационные методы Дзядыка решения дифференциальных и интегральных уравнений // Укр. мат. журн. — 1989. — 41, № 4. — С.454-465.
Література
- Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б. Кусково-поліноміальні алгоритми аналізу процесів у неоднорідних середовищах. // Кібернетика і системний аналіз, 2018, Т. 54, № 4. - C. 135-141.
- Біленко В. І., Кирилаха Н. Г. Апроксимаційний метод аналізу інтегральних динамічних моделей з керованою пам'яттю Канторовича-Глушкова // Сучасна інформатика: проблеми, досягнення та перспективи розвитку / Тези доповідей Міжнародної наукової конференції, присвяченої 90-річчю від дня народження В. М. Глушкова. Україна, Київ, 12-13 вересня 2013 року // Київ: Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України, 2013. / Стор. 130-132.
Примітки
- А. М. Самойленко, В. В. Строк, В. І. Сукретний. Хроніка-2005 // Національна академія наук України. Інститут математики. / С. 112.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U cij statti vidsutnij vstupnij rozdil sho maye mistiti viznachennya predmeta i stislij oglyad najvazhlivishih aspektiv statti Vi mozhete dopomogti proyektu napisavshi preambulu ViznachennyaNizhche dotrimuyemosya numeraciyi formul 3 rozdilu IV v 1 stor 129 147 chi 2 stor 154 170 Nehaj 1 a 0 x y k a 1 x y k 1 a k x y p x y j 0 y j j 0 k 1 displaystyle 1 qquad a 0 x y k a 1 x y k 1 dots a k x y p x quad y j 0 y j j 0 k 1 zadacha Koshi ZK dlya zvichajnogo linijnogo diferencialnogo rivnyannya ZLDR koeficienti yakogo p x C a j x C k j j 0 k displaystyle p x in C a j x in C k j j 0 k tobto p x a j k j x displaystyle p x a j k j x neperervni funkciyi y j displaystyle y j dovilni dijsni chisla Peretvorennya Dzyadika stavit u vidpovidnist do zadachi Koshi zvichajnogo linijnogo diferencialnogo rivnyannya ZK ZLDR linijne integralne rivnyannya a 0 x y x 0 x P l x t y t d t p x displaystyle a 0 x y x int 0 x P l x t y t dt tilde p x U 3 znajdeno prostu simetrichnu distinct formu dlya formul 24 25 ta 15 u 2 IV 3 24 P x t m 1 k t x m m 1 n 0 m n k n m n a n m n t 25 p x J k p x m 1 k x m m 1 n 1 m n k n m n s 1 n a s 1 m n 0 y n s displaystyle begin matrix 24 amp amp P x t amp amp amp displaystyle sum mu 1 k frac t x mu mu 1 sum nu 0 mu nu binom k nu mu nu a nu mu nu t qquad quad 25 amp amp tilde p x quad amp amp cal J k p x amp displaystyle sum mu 1 k frac x mu mu 1 sum nu 1 mu nu binom k nu mu nu sum s 1 nu a s 1 mu nu 0 y nu s end matrix J k p x displaystyle cal J k p x denoting the k displaystyle k th integral of the function p x displaystyle p x 16 J k p x 1 n 1 0 x x t n 1 p t d t displaystyle 16 qquad cal J k p x frac 1 nu 1 int 0 x x t nu 1 p t dt Theorem is equivalent to the integral equation Priklad Rivnyannya Besselya x 2 y x y x 2 m 2 y 0 displaystyle x 2 y xy x 2 m 2 y 0 Pidstanovkoyu y x x m u x displaystyle y x x m u x otrimuyemo sproshene rivnyannya Besselya x u 1 2 m u x u 0 displaystyle xu 1 2m u xu 0 dlya yakogo za formulami 24 ta 25 obchislyuyemo P x t 1 2 m t x t p x 2 m x a 0 x x displaystyle P x t 1 2m t x t quad tilde p x 2mx quad a 0 x x zvidki integralna forma sproshenogo rivnyannya Besselya maye viglyad u x 2 m x 1 0 x 1 2 m t x t u t d t displaystyle u x 2m x 1 left int 0 x 1 2m t x t u t dt right VikoristannyaPeretvorennya Dzyadika ZK ZLDR v integralne rivnyannya ye pershoyu chastinoyu rozroblenogo nim aproksimacijnogo metodu rishennya diferencialnih rivnyan abo a displaystyle a metodu Citati Nachinaya s 1969 g V K Dzyadyk razrabotal i gluboko obosnoval tak nazyvaemyj approksimacionnyj metod resheniya differencialnyh uravnenij Etot metod dayot vozmozhnost effektivno stroit pri pomoshi EVM a inogda i bez nih mnogochleny a takzhe kusochno mnogochlennye agregaty horoshego priblizheniya dlya funkcij kotorye yavlyayutsya resheniyami sleduyushih zadach zadacha Koshi dlya obyknovennyh differencialnyh uravnenij zadacha Gursa razlichnye zadachi dlya uravnenij s zapazdyvayushim argumentom kraevye zadachi dlya obyknovennyh uravnenij i dr Primenenie etogo metoda k linejnym differencialnym uravneniyam s mnogochlennymi koefficientami vida 5 a 0 z y k a 1 z y k 1 a k z y P z y j 0 y j displaystyle qquad 5 qquad qquad a 0 z y k a 1 z y k 1 dots a k z y P z qquad y j 0 y j j 0 k 1 displaystyle j 0 k 1 gde a j z displaystyle a j z i P z displaystyle P z mnogochleny pozvolilo sozdat i obosnovat prostye algoritmy dlya effektivnogo postroeniya algebraicheskih mnogochlenov y n z y n z h displaystyle y n z y n z h osushestvlyayushih na h h displaystyle h h pri a 0 z 0 displaystyle a 0 z neq 0 v naibolee vazhnyh sluchayah takoe priblizhenie iskomogo resheniya y z displaystyle y z uravneniya 5 displaystyle 5 kotoroe s tochnostyu do mnozhitelya ne prevyshayushego 1 A n 1 A c o n s t displaystyle 1 An 1 A rm const sovpadaet s velichinoj E n y displaystyle E n y nailuchshego priblizheniya funkcii y z displaystyle y z mnogochlenami stepeni n displaystyle leq n Kornejchuk N P Nikolskij S M UMN 34 4 1979 na stor 233 Za dopomogoyu a metodu bulo znajdeno ta vipravleno pomilki u tablicyah napr u tablicyah Korn ta Korn Cej metod daye asimptotichno 1 A n 1 displaystyle 1 An 1 najkrashu mozhlivu tochnist nablizhennya tomu pracyuye navit todi koli inshi metodi ne pracyuyut tobto dayut nepripustimu pohibku abo rozbizhni ViznannyaDzyadik V K Konovalov V M Shevchuk I O u 1991 roci za cikl prac Nablizhennya diferencijovnih funkcij ta aproksimacijni metodi rozv yazannya diferencialnih ta integralnih rivnyan stali laureatami premiyi NAN Ukrayini imeni M M Krilova DzherelaDzyadyk V K Approksimacionnye metody resheniya differencialnyh i integralnyh uravnenij In t matematiki AN USSR K Naukova dumka 1988 304 s ros Dzyadyk V K Approximation Methods for Solutions of Differential and Integral Equations VSP Utrecht Tokyo 1995 325 p ISBN 90 6764 194 4 angl Dzyadyk Yu V Some approximation properties of the a and AI quadrature polynomials Funkcionalni metodi u teoriyi nablizhen teoriyi operatoriv stohastichnomu analizi ta statistici Tezi dopovidej Kiyivskij Nacionalnij universitet Kiyiv 2001 s 22 23PosilannyaKornejchuk N P Nikolskij S M Shevchuk I A Vladislav Kirillovich Dzyadyk k shestidesyatiletiyu so dnya rozhdeniya Uspehi matematicheskih nauk 1979 34 4 208 C 231 237 Bilenko V I Konovalov V N Lukovskij I A Puhov G E Ronto N I Approksimacionnye metody Dzyadyka resheniya differencialnyh i integralnyh uravnenij Ukr mat zhurn 1989 41 4 S 454 465 LiteraturaBilenko V I Bozhonok K V Dzyadik S Yu Stelya O B Kuskovo polinomialni algoritmi analizu procesiv u neodnoridnih seredovishah Kibernetika i sistemnij analiz 2018 T 54 4 C 135 141 Bilenko V I Kirilaha N G Aproksimacijnij metod analizu integralnih dinamichnih modelej z kerovanoyu pam yattyu Kantorovicha Glushkova Suchasna informatika problemi dosyagnennya ta perspektivi rozvitku Tezi dopovidej Mizhnarodnoyi naukovoyi konferenciyi prisvyachenoyi 90 richchyu vid dnya narodzhennya V M Glushkova Ukrayina Kiyiv 12 13 veresnya 2013 roku Kiyiv Institut kibernetiki imeni V M Glushkova NAN Ukrayini 2013 Stor 130 132 PrimitkiA M Samojlenko V V Strok V I Sukretnij Hronika 2005 Nacionalna akademiya nauk Ukrayini Institut matematiki S 112