Оператор у квантовій механіці — це лінійне відображення, яке діє на хвильову функцію, яка є комплекснозначною функцією, що дає найбільш повний опис стану системи. Оператори позначаються великими латинськими літерами з циркумфлексом угорі. Наприклад:
Оператор діє на функцію, яка стоїть праворуч від нього (кажуть також, що він застосовується до функції або множиться на функцію):
У квантовій механіці використовується математична властивість лінійних самоспряжених (ермітових) операторів, яка полягає в тому, що кожен з них має власні вектори і власні дійсні значення. Вони виступають у ролі відповідних даному оператору значень фізичних величин.
Арифметичні операції над операторами
Оператор називається сумою (різницею) операторів
, якщо для будь-якої функції
з області визначення всіх трьох операторів виконано умову:
Оператор називається добутком операторів
, Якщо для будь-якої функції
виконано умову:
В загальному випадку
якщо , то кажуть, що оператори
комутують. Комутатор операторів визначається як
Власні значення і власні функції оператора
Якщо має місце рівність:
то називають власним значенням оператора
, а функцію
— власною функцією оператора
яка відповідає цьому власному значенню. Найчастіше в оператора є множина власних значень:
Множина всіх власних значень називається спектром оператора.
Лінійні і самоспряжені оператори
Оператор називається лінійним, якщо для будь-якої пари
виконується умова:
Оператор називається самоспряженим (ермітовим), якщо для будь-яких
виконується умова:
При цьому сума самоспряжених операторів є самоспряженим оператором. Добуток самоспряжених операторів є самоспряженим оператором, якщо вони комутують. Власні значення самоспряжених операторів завжди дійсні. Власні функції самоспряжених операторів, що відповідають різним власним значенням, ортогональні.
Оператори, які використовуються у квантовій фізиці
Основними характеристиками фізичної системи у квантовій фізиці є (спостережувані величини) і стани.
У квантовій фізиці (спостережуваним величинам) зіставляються лінійні самоспряжені оператори в комплексному сепарабельному гільбертовому просторі, станам — класи нормованих елементів цього простору (з нормою 1). Це робиться переважно з двох причин:
- Власні значення самоспряжених операторів, що відповідають конкретним значенням фізичних величин, є дійсними числами, тобто тим, з чим на практиці мають справу експериментатори (покази приладів, результати обчислень тощо).
- Одна й та сама квантова частинка може перебувати одночасно у множині квантових станах, які й характеризуються множиною власних значень відповідного оператора. Це може бути скінченна множина (дискретний спектр значень), інтервал (неперервний спектр значень) або змішана множина.
У квантовій фізиці існує «нестроге» правило для побудови оператора фізичних величин: співвідношення між операторами в цілому таке ж, як між відповідними класичними величинами. Ґрунтуючись на цьому правилі, було введено такі оператори (в координатному поданні):
- Оператор координат:
Дія оператора координат полягає у множенні на вектор координат.
Тут — уявна одиниця,
— оператор набла.
- Оператор кінетичної енергії:
тут — (стала Дірака),
— оператор Лапласа.
- Оператор потенціальної енергії:
Дія оператора тут зводиться до множення на функцію.
- Оператор моменту імпульсу:
Такий вигляд було обрано також з причин, пов'язаних з теоремою Нетер і групою SO(3)
- Оператор спіну:
У найважливішому випадку спіну 1/2 оператор спіну має вигляд: , де
,
,
— так звані матриці Паулі. Цей вигляд аналогічний попередньому, але пов'язаний з групою SU(2).
Див. також
- (Картина Гейзенберга)
- Картина Шредінгера
- Гамільтоніан
- Оператор (математика)
Література
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [ru]», в 10 т., т. 3, «Квантовая механика (нерелятивистская теория)», 5-е изд., Москва, Физматлит, 2002, 808 с., (т. 3);
- «Функциональный анализ», изд. 2, перер. и дополн. (серия «Справочная математическая библиотека»,) коллектив авторов, ред. С. Г. Крейн, Москва, «Наука», 1972, 517.2 Ф 94 УДК 517.4(083, 544 с., гл. 9 «Операторы квантовой механики», с. 423—455;
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет