Опера́тори наро́дження та зни́щення — пара взаємно спряжених квантовомеханічних операторів, зручних для запису гамільтоніанів квантовомеханічної системи у представленні вторинного квантування.
Оператори народження й знищення визначаються з певними комутаційними властивостями, різними для ферміонів та бозонів.
Оператори народження й знищення позначаються однією літерою, але до символу оператора народження додається додатковий символ спряження. Наприклад, оператору знищення відповідає оператор народження .
Ферміони
Для поля ферміонів вводиться особливий вакуумний стан , який відповідає відсутності частинки. Діючи на цей нульовий вакуумний стан, оператор народження «створює» частинку з хвильовою функцією
:
.
Відповідним чином, оператор знищення, діючи на хвильову функцію частинки , знищує частинку, переводячи систему в стан
.
.
Дія оператора знищення на нульовий стан дає нуль
.
Відповідно, дія оператора народження на стан , теж дає нуль.
.
Оператор народження й знищення задовольняють наступному антикомутаційному співвідношенню
.
Оператор числа частинок задається виразом
.
Вочевидь
Різні стани
Для ферміона, який може перебувати в різних станах, оператори народження й знищення визначаються для кожного з цих станів.
Нехай у гільбертовому просторі станів ферміона заданий ортоноромований базис . Оператори народження й знищення
і
для різних станів комутують між собою.
при
.
Будь-який квантовомеханічний оператор можна записати у вигляді
,
де
— матричний елемент оператора.
Гамільтоніан
Виражений через оператори народження й знищення, гамільтоніан квантовомеханічної системи, набирає особливо зручного вигляду, якщо ортогональний базис, для якого визначаються оператори народження й знищення, відповідає власним функціям певного модельного гамільтоніану :
.
Розбиваючи гамільтоніан на дві частини:
,
й переходячи до зображення операторів народження й знищення, його можна записати, як
Бозони
Для бозонів оператори народження й знищення вводяться аналогічно тому, як це робиться для гармонічного осцилятора.
Бозони є квантовим аналогом класичних полів, які характеризуються інтенсивністю. При переході до квантової механіки ця характеристика зберігається у вигляді числа частинок у певному стані. Для стану можна ввести оператор кількості частинок
, виходячи із співвідношення
.
Оператор числа частинок виражається через оператори народження й знищення аналогічно тому, як для ферміонів
.
Нульовий (вакуумний) стан відповідає відсутності частинок. Стан із одним бозоном утворюється із нульового стану, якщо подіяти на нього оператором народження
.
Відповідно, .
З огляду на те, що хвильові функції бозонів симетричні щодо перестановки частинок, оператори народження й знищення для них задовільняють комутаційним співвідношенням
.
Для опису полів, наприклад електромагнітного поля оператори народження й знищення вводяться для кожної частоти фотона.
Гамільтоніан поля має вигляд
,
де — зведена стала Планка,
— хвильовий вектор,
— частота хвилі з хвильовим вектором
. Доданок 1/2 відповідає енергії нульових коливань.
Джерела
- Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
- Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
- Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.
![]() | Це незавершена стаття з фізики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет