Мінімальний многочлен матриці

Про мінімальний многочлен у теорії полів див. Мінімальний многочлен (теорія полів).

Мінімальний многочлен матриці A розмірності n×n над полем F — многочлен p(x) над полем F, такий, що p(A)=0, старший коефіцієнт якого рівний 1 і степінь якого мінімальна серед таких многочленів. Для довільної матриці такий многочлен існує і є єдиним.

Властивості

• Нехай p(x) — мінімальний многочлен матриці A і g(x) — деякий інший многочлен, такий що g(A) = 0 (анулюючий многочлен матриці A). Тоді p(x) ділить многочлен g(x). Еквівалентно, якщо для матриці A над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$ визначити множину:

${\displaystyle {\mathit {I}}_{A}=\{g\in \mathbb {K} [t]\;|\;g(T)=O\}}$

то ${\displaystyle {\mathit {I}}_{A}}$ буде ідеалом в кільці ${\displaystyle \mathbb {K} }$ многочленів над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Цей ідеал тоді буде головним, породженим мінімальним многочленом p(x).

• Такі твердження є еквівалентними:

1. ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$ є коренем многочлена p(x),
2. λ є коренем характеристичного многочлена матриці A,
3. λ є власним значенням матриці A.

• Кратність кореня λ мінімального многочлена p(x) рівна розміру найбільшого жорданового блоку, що відповідає числу λ
• Якщо матрицю A можна привести до діагонального виду у полі ${\displaystyle \mathbb {K} }$, то многочлен p(x) у полі ${\displaystyle \mathbb {K} }$ можна розкласти на лінійні множники, причому всі корені тоді відмінні.

Обчислення

Визначимо I _{A, v} як:

${\displaystyle {\mathit {I}}_{A,v}=\{p\in \mathbb {K} [t]\;|\;v\in {\mbox{Ker}}\;p(A)\}=\{p\in \mathbb {K} [t]\;|\;p(A)(v)=0\}.}$

Дана множина є головним ідеалом. Нехай ${\displaystyle \mu _{A,v}}$ многочлен зі старшим коефіцієнтом 1, що породжує цей ідеал.

• Многочлен ${\displaystyle \mu _{A,v}}$ ділить p(x).
• Якщо d — найбільше натуральне число, таке що v, A(v), ... , A^d(v) є лінійно незалежними,тоді

${\displaystyle \alpha _{0}v+\alpha _{1}A(v)+\ldots +\alpha _{n}A^{d}(v)+A^{d+1}(v)=0}$

для деяких ${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {K} }$ і

${\displaystyle \mu _{A,v}(t)=\alpha _{0}+\alpha _{1}t+\ldots +\alpha _{n}t^{d}+t^{d+1}.}$

• Для базису {v₁,..., v_n} мінімальний многочлен рівний найменшому спільному кратному многочленів ${\displaystyle \mu _{A,v_{i}}}$ для всіх i = 1, ... , n.

Див. також

• Характеристичний многочлен
• Власне значення матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
• Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
• , . Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
• Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, SIAM, .