Моменти випадкової величини

Моме́нт випадкової величини́ — числова характеристика розподілу даної випадкової величини.

Означення

Моментом n-того порядку дискретної випадкової величини ${\displaystyle \xi }$, яка приймає значення ${\displaystyle x_{i}}$ з ймовірністю ${\displaystyle p_{i}}$, де ${\displaystyle i=1,2,3...}$, називається число ${\displaystyle M\xi ^{n}=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}^{k}p_{i}}$, якщо цей ряд збігається абсолютно, тобто ${\displaystyle M|\xi ^{n}|=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}^{k}|p_{i}<\infty }$.

Величина ${\displaystyle M|\xi ^{n}|}$ називається абсолютним моментом випадкової величини ${\displaystyle \xi }$.

Моментом n-того порядку неперервної випадкової величини ${\displaystyle \xi }$ з густиною ${\displaystyle p(x)}$, називається число ${\displaystyle M\xi ^{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{k}p(x)dx}$, якщо інтеграл збігається абсолютно, тобто ${\displaystyle M|\xi ^{n}|=\int _{-\infty }^{\infty }|x^{k}|p(x)dx<\infty }$.

Якщо дана випадкова величина ${\displaystyle \displaystyle X,}$ визначена на деякому імовірнісному просторі, то центра́льним моментом (k -го порядку) випадкової величини ${\displaystyle \displaystyle X}$ називається величина

${\displaystyle \mu _{k}=\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)^{k}\right],}$

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Початковим моментом k-го порядку називається величина:

${\displaystyle \nu _{k}=\mathbb {E} \left[X^{k}\right],}$

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

${\displaystyle \displaystyle k}$-им факторіальним моментом випадкової величини ${\displaystyle \displaystyle X}$ називається величина

${\displaystyle \mu _{k}=\mathbb {E} \left[X(X-1)...(X-k+1)\right],}$

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Зауваження

Враховуючи лінійність математичного сподівання центральні моменти можна виразити через початкові, і навпаки. Наприклад:

${\displaystyle \displaystyle \mu _{1}=0,}$

${\displaystyle \displaystyle \mu _{2}=\nu _{2}-\nu _{1}^{2},}$

${\displaystyle \displaystyle \mu _{3}=\nu _{3}-3\nu _{1}\nu _{2}+2\nu _{1}^{3},}$

${\displaystyle \displaystyle \mu _{4}=\nu _{4}-4\nu _{1}\nu _{3}+6\nu _{1}^{2}\nu _{2}-3\nu _{1}^{4},}$

${\displaystyle \mu _{k}=\sum \limits _{s=0}^{k}{(-1)^{s}C_{k}^{s}v_{k-s}v_{1}^{s}}}$

Якщо визначені моменти ${\displaystyle \displaystyle k}$-го порядку, то визначені і всі моменти нижчих порядків ${\displaystyle 1\leqslant k'<k.}$.

Геометрична інтерпретація деяких моментів

• ${\displaystyle \displaystyle \nu _{1}}$ дорівнює математичному сподіванню випадкової величини і показує відносне розташування розподілу на числовій прямій.
• ${\displaystyle \displaystyle \mu _{2}}$ дорівнює дисперсії розподілу випадкової величини ${\displaystyle \displaystyle (\mu _{2}=\sigma ^{2})}$ і показує розсіяння (розкид) довкола середнього значення.
• ${\displaystyle \displaystyle \mu _{3}}$, будучи відповідним чином нормалізований є числовою характеристикою симетрії розподілу. Точніше, вираз

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}}$

називається коефіцієнтом асиметрії.

• ${\displaystyle \displaystyle \mu _{4}}$ контролює, наскільки яскраво виражена верхівка розподілу в околі математичного сподівання. Величина

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3}$

називається коефіцієнтом ексцесу розподілу в.в. ${\displaystyle \displaystyle X.}$

Обчислення моментів

• Моменти можна обчислити безпосередньо шляхом інтегрування відповідної функії випадкової величини. Зокрема, для абсолютно неперервного розподілу із щільністю${\displaystyle \displaystyle f(x),}$ маємо:

${\displaystyle \nu _{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}\,f(x)\,dx,}$

якщо

${\displaystyle \nu _{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x|^{k}\,f(x)\,dx<{+\infty }}$,

а для дискретних розподілів із функцією ймовірностей ${\displaystyle \displaystyle p(x)}$:

${\displaystyle \nu _{k}=\sum \limits _{x}x^{k}\,p(x),}$

якщо ${\displaystyle \nu _{k}=\sum \limits _{x}|x|^{k}\,p(x)<{+\infty }.}$

• Також початкові моменти випадкової величини можна обчислити використовуючи її характеристичну функцію ${\displaystyle \displaystyle \varphi (t)}$:

${\displaystyle \nu _{k}=\left.-i^{k}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\varphi (t)\right\vert _{t=0}.}$

• Якщо розподіл такий, що для нього в деякому околі нуля визначена твірна функція моментів, ${\displaystyle \displaystyle M_{X}(t),}$, то початкові моменти можна обчислити використовуючи наступну формулу:

${\displaystyle \nu _{k}=\left.{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}M_{X}(t)\right\vert _{t=0}.}$

Можна також розглядати моменти в.в. для значень ${\displaystyle k}$, що не є цілими числами. Такий момент, момент, що розглядується як функція від дісного аргументу ${\displaystyle k}$, називається .

Можна розглянути моменти багатовимірної випадкової величини. Тоді перший момент буде вектором тієї ж розмірності, другий — тензором другого порядку (див. ) над простором тієї ж розмірності (хоча можна розглянути і слід цієї матриці, що дає скалярне узагальнення дисперсії). Ітд.

Див. також

• Математичне сподівання
• Дисперсія випадкової величини

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• (2004). Розділ 4.3. Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 1-e). Київ: Центр навчальної літератури. с. 448.

Примітки

1. (2001). Теорія ймовірностей, математична статистика і випадкові процеси: Навчальний посібник (укр) . К.: ВПЦ "Київський університет". (PDF) оригіналу за 24 лютого 2007. Процитовано 10 жовтня 2015.