Множина розв'язків

У математиці множина розв'язків — це множина значень, які задовольняють заданому набору рівнянь або нерівностей.

Наприклад, для набору ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ многочленів над кільцем ${\displaystyle R}$, множина розв'язків є підмножиною ${\displaystyle R}$ на якій всі поліноми перетворюються на нуль, формально

${\displaystyle \{x\in R:\forall i\in I,f_{i}(x)=0\}.\ }$

Допустимий регіон (задачі оптимізації з обмеженнями) є множиною розв'язків обмежень.

Приклади

1. Множиною розв'язків єдиного рівняння ${\displaystyle x=0}$ є множина {0}.
2. Для будь-якого ненульового многочлена ${\displaystyle f}$ над комплексними числами в одній змінній множина розв'язків складається зі скінченної кількості точок.
3. Однак для комплексного полінома з більш ніж однією змінною множина розв'язків не має ізольованих точок.

Зауваження

В алгебричній геометрії множини розв'язків називають алгебричними множинами, якщо немає нерівностей. Над дійсними числами і з нерівностями їх називають (напівалгебричними множинами).

Інші значення

Загальніше, множина розв'язків для довільної колекції E відношень (E_i) (i змінюється в деякому наборі індексів I) для набору невідомих ${\displaystyle {(x_{j})}_{j\in J}}$, які мають набувати значень у відповідних просторах ${\displaystyle {(X_{j})}_{j\in J}}$, — множина S всіх розв'язків відношень E, де розв'язок ${\displaystyle x^{(k)}}$ це сімейство значень ${\textstyle {\left(x_{j}^{(k)}\right)}_{j\in J}\in \prod _{j\in J}X_{j}}$ таке, що підстановка ${\displaystyle x^{(k)}}$ замість ${\displaystyle {\left(x_{j}\right)}_{j\in J}}$ у колекції E робить усі відношення істинними.

(Замість відношень, що залежать від невідомих, правильніше говорити про предикати, колекція E є їх логічною кон'юнкцією, а множина розв'язків є оберненим відображенням булевого значення істина за допомогою пов'язаної з ним ^[en].)

Наведене вище визначення є окремим випадком цього, якщо множину поліномів f_i інтерпретувати як множину рівнянь f_i(x)=0.

Приклади

• Множиною розв'язків для E={x+y=0} при ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ є ${\displaystyle S=\{(a,-a)|a\in \mathbb {R} \}}$.
• Множиною розв'язків для E = {x+y=0} при ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ є S={−y}. (Тут y не «оголошено» як невідоме, і тому його слід розглядати як , від якого залежить рівняння, а отже, й множина розв'язків.)
• Множиною розв'язків для ${\displaystyle E=\{{\sqrt {x}}\leqslant 4\}}$ при ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ є інтервал S=[0,2] (оскільки ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ не визначено для від'ємних значень x).
• Множиною розв'язків для ${\displaystyle E=\{e^{ix}=1\}}$ при ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$ є ${\displaystyle S=2\pi \mathbb {Z} }$ (див. тотожність Ейлера).

Див. також

• Розв'язування рівнянь
• ^[en]