Метод невизначених множників або метод невизначених множників Лагранжа — метод знаходження умовного локального екстремуму, запропонований італійським математиком Жозефом-Луї Лагранжем. Метод дозволяє звести задачу з пошуку умовного екстремуму до задачі на знаходження безумовного екстремуму.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelUxTDB4aFozSmhibWRsVFhWc2RHbHdiR2xsY25NelJDNXdibWN2TXpBd2NIZ3RUR0ZuY21GdVoyVk5kV3gwYVhCc2FXVnljek5FTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
Метод невизначених множників | |
Названо на честь | Жозеф-Луї Лагранж |
---|---|
Досліджується в | Математичне програмування |
Формула | |
Позначення у формулі | , і |
Підтримується Вікіпроєктом | |
|
Задача
Нехай потрібно знайти екстремум функції n змінних за s умов
, де
.
Опис методу
Вводячи s невизначених множників Лагранжа , побудуємо функцію Лагранжа
.
Задача знаходження умовного оптимуму зводиться до розв'язування системи n+s рівнянь із n+s змінними:
,
.
Використання
Метод невизначених множників Лагранжа широко використовується в математичній і теоретичній фізиці. За допомогою цього методу отримані рівняння Лагранжа першого роду, які дозволяють формально ввести сили реакції в фізичні задачі із в'язями. Невизначені множники Лагранжа використовує також варіаційний метод в квантовій механіці.
Приклад
Приклад 1
Знайти прямокутник із найбільшою площею за заданого периметра p.
Розв'язок
Позначимо сторони прямокутника x та y. Потрібно знайти максимум функції
за умови
.
Вводимо множник Лагранжа і шукаємо безумовний екстремум функції
Беручи похідні отримуємо систему рівнянь
Підставляючи значення та
в останнє рівняння, отримуємо
.
Отже, найбільшу площу серед прямокутників із заданим периметром має квадрат.
Приклад 2
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelF4TDB4aFozSmhibWRsWDNOcGJYQnNaUzV6ZG1jdk16QXdjSGd0VEdGbmNtRnVaMlZmYzJsdGNHeGxMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
Цей приклад вимагає складніших обчислень, але це все що задача з одним обмеженням.
Припустимо, що потрібно знайти найбільші значення
за умови, що - і
-координати лежать на колі з центром в початку координат з радіусом
. Тобто з таким обмеженням
Через те, що маємо лише одне обмеження, то маємо і лише один множник, скажімо .
Обмеження тотожна нулю на колі радіуса
. Будь-яке кратне
можна додати до
не змінивши при цьому
у цікавій нам області (на колі, що задовольняє наше обмеження).
звідки ми можемо порахувати градієнт:
І отже:
(iii) це наше вихідне обмеження. (i) означає, що або
. Якщо
тоді з (iii)
і далі
з (ii). Якщо ж
, підставляючи у (ii) маємо
. Підставляючи у (iii) і розв'язуючи щодо
мажмо
. Отже існує шість критичних точок
:
Обчислюючи функцію мети в цих точках знаходимо, що
Отже, функція мети досягає глобального максимуму (за умови обмеження) у і глобального мінімуму в
Точка
це локальний мінімум
а
це локальний максимум
що можна побачити використавши обрамлену матрицю Гесе для
.
Зауважте, що хоча це критична точка
, це не локальний екстремум
Маємо, що
Маючи будь-який окіл , можна вибрати мале додатне
і мале
будь-якого знаку, щоб отримати значення
як більше так і менше ніж
. Це можна також побачити з того, що матриця Гесе для
обчислена в цій точці (та й в будь-якій іншій знайденій критичній точці) являє собою невизначену матрицю. Кожна з критичних точок
це сідлова точка
.
Див. також
Джерела
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
- Колмогоров А. М., Фомін С. В. Елементи теорії функцій та функціонального аналізу. — К.: Вища шк., 1974. — 456 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет