Медіана (статистика)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Медіана (значення).

Медіа́на (англ. median) — в статистиці це величина ознаки, що розташована посередині ранжованого ряду вибірки, тобто — це величина, що розташована в середині ряду величин, розташованих у зростальному або спадному порядку; в теорії ймовірності — характеристика розподілення випадкової величини.

Медіана ділить ряд значень ознаки на дві рівні частини, по обидві частини від неї розміщується однакова кількість одиниць сукупності. Медіана є квантилем порядку 1/2. Позначається як ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ або ${\displaystyle x_{1/2}}$.

Визначення

Медіаною функції розподілу ${\displaystyle F}$ називається таке число ${\displaystyle {\tilde {x}}}$, що:

${\displaystyle F({\tilde {x}})=1/2}$,

або:

${\displaystyle P(X<{\tilde {x}})=P(X>{\tilde {x}})=1/2}$,

тобто, ймовірність того, що випадкова величина матиме значення більше або менше за медіану однакова і дорівнює 1/2.

Якщо функція розподілу строго монотонна, то медіана визначається однозначно, в протилежному випадку, розв'язком рівняння ${\displaystyle {\tilde {x}}=F^{-1}(x)}$ є відрізок ${\displaystyle [{\underline {x}},{\overline {x}}]}$. З точки зору теорії ймовірностей, значення з цього відрізку можна не розглядати. Таким чином, неоднозначність цього рівняння неістотна. Аби уникнути пов'язаних з цієї неоднозначностей проблем, медіаною можна вважати найменший корінь рівняння: ${\displaystyle {\tilde {x}}={\underline {x}}}$.

З геометричної точки зору, вертикальна пряма ${\displaystyle x={\tilde {x}}}$, що проходить через точку з абсцисою ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ділить площу фігури під кривою функції розподілу на дві рівні частини.

Скінченна множина чисел

Медіану скінченної множини чисел можна знайти впорядкувавши їх в порядку зростання, від найменшого числа до найбільшого.

Якщо кількість чисел непарна, обирається те що знаходиться по середині. Наприклад, нехай існує такий набір чисел

1, 3, 3, 6, 7, 8, 9

Цей список містить сім чисел. Медіаною є четверте із них, що є числом 6.

Якщо кількість спостережень парна, тоді не існує єдиного значення по середині; тоді медіану зазвичай визначають як середнє значення між двома числами по середині. Наприклад, для наступного набору

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9

медіана є середнім значенням для двох чисел по середині: вона дорівнюватиме (4 + 5)/2, тобто 4.5 або ${\displaystyle 4{\frac {1}{2}}}$.

Для знаходження позиції середнього числа в вибірці із n послідовно впорядкованих чисел використовується формула (n + 1) ÷ 2. Ця формула повертає або позицію середнього числа (для непарної кількості значень) або знаходиться по середині між двома точками. Наприклад, при кількості в 14 значень, формула поверне 7.5, тоді медіану необхідно розраховувати як середнє значення між сьомим і восьмим значенням. Таким чином медіану можна представити наступною формулою:

${\displaystyle \mathrm {median} (a)={\frac {a_{\lfloor \#x\div 2\rfloor }+a_{\lfloor \#x\div 2+0.5\rfloor }}{2}}}$

Порівняння різних загальних середніх значень на прикладі вибірки вибірки { 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 }

Тип	Опис	Приклад	Результат
Середнє арифметичне	Сума всіх значень вибірки, поділена на їхню кількість: ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$	(1+2+2+3+4+7+9) / 7	4
Медіана	Середнє значення, що відокремлює більшу половину і меншу половину вибірки	1, 2, 2, 3, 4, 7, 9	3
Мода	Значення, що зустрічається у вибірці найчастіше	1, 2, 2, 3, 4, 7, 9	2

Найчастіше медіану застосовують для скошених (не симетричних) розподілів, де вона дозволяє підсумувати різницю від арифметичного середнього. Розглянемо мультимножину { 1, 2, 2, 2, 3, 14 }. В даному випадку медіана дорівнює 2, (так само як і мода), і її можна розглядати як більш придатний індикатор центральної тенденції (що менш чутливий до зміщення при наявності виключно великого значення серед даних), ніж арифметичне середнє, що дорівнює 4.

Медіана — дуже популярна міра підсумкової статистики, оскільки її просто зрозуміти і легко розрахувати, а також вона більш стійка до можливих наявних викидів у вибірці, порівняно із середнім значенням. Часто зустрічається твердження про емпіричний зв'язок між відносним знаходженням середнього значення і медіани для скошених розподілів, що насправді не є істинним у загальному випадку. Однак, існує багато залежностей між абсолютною різницею між ними.

Історія

Поняття медіани походить з книги про навігацію («Помилки в навігації» 1599 року), в розділі з приводу визначення розташування за допомогою компаса. Він зрозумів, що імовірніше всього, це значення може бути правильним в серіях спостережень.

У 1757 році Роджер Джосеф Бошкович розвивав регресивний метод, заснований на нормі L1 і на медіані. У 1774 році Лаплас запропонував використати медіану як стандартний оцінювач значення пізнішого pdf. Специфічні критерії мали мінімізувати очікувану величину помилки; ${\displaystyle |\alpha -\alpha ^{*}|}$ , де α* — оцінка, і α — справжня цінність.

був загалом знехтуваний протягом 150 років на користь найменшого методу квадратів Гауса і Легенгре, який мінімізує значення ${\displaystyle (\alpha -\alpha ^{*})^{2}}$, щоб отримати середину. Поширення як типового означення, так і типової медіани були визначені Лапласом на початку 1800 року. Антуан Августин Курно в 1843 році був першим, хто використав термін «медіана», як значення, яке ділить розподіл імовірності на дві рівні частини.

використовував медіану (Centralwerth) в соціологічних і психологічних явищах.

Густав Фішнер популяризував медіану у формальному аналізі даних, хоча це вперше зробив Лаплас. вжив англійський термін «медіана» в 1881 році, раніше використовуючи «середина найбільшого значення» (1869 рік) і як «середина» в 1880 році.

Медіана варіаційного ряду

Медіаною називають варіанту, що ділить варіаційний ряд на дві частини з рівною кількістю варіант. Якщо кількість варіант непарна (${\displaystyle n=2k+1}$), то ${\displaystyle {\tilde {x}}=x_{k+1}}$, у випадку парної кількості варіант (${\displaystyle n=2k}$), медіана дорівнює:

${\displaystyle {\tilde {x}}={\frac {(x_{k}+x_{k+1})}{2}}}$.

Наприклад, для ряду 2 3 5 6 7 медіана дорівнює 5; для ряду 2 3 5 6 7 9 медіана дорівнює (5 + 6)/2 = 5.5.

Розподіл імовірностей

Геометрична візуалізація моди, медіани і середнього значення довільної функції густини імовірностей.

Для будь-якого розподілу імовірностей в множині дійсних чисел R із кумулятивною функцією розподілу F, не залежно від того чи є це будь-яким з неперервних розподілів імовірності, зокрема абсолютно неперервний розподіл (що має функцію густини імовірності), або дискретний розподіл імовірностей, медіаною за визначенням є будь-яке дійсне число m яке задовольняє наступним нерівностям:

${\displaystyle \operatorname {P} (X\leq m)\geq {\frac {1}{2}}{\text{ і }}\operatorname {P} (X\geq m)\geq {\frac {1}{2}}\,\!}$

або, еквівалентні нерівності

${\displaystyle \int _{(-\infty ,m]}dF(x)\geq {\frac {1}{2}}{\text{ і }}\int _{[m,\infty )}dF(x)\geq {\frac {1}{2}}\,\!}$

в яких використовується інтеграл Лебега-Стілтьєса. Для будь-якого абсолютно неперервного розподілу імовірностей із функцією густини імовірностей ƒ, медіана задовольняє умовам:

${\displaystyle \operatorname {P} (X\leq m)=\operatorname {P} (X\geq m)=\int _{-\infty }^{m}f(x)\,dx={\frac {1}{2}}.\,\!}$

Будь-який розподіл імовірностей в множині R має принаймні одну медіану, але в окремих випадках може існувати більше ніж одна медіана. Зокрема, якщо розподіл імовірностей дорівнює нулю в інтервалі [a, b], а кумулятивна функція розподілу в точці a приймає значення 1/2, будь-яке значення між a і b також буде медіаною.

Медіани окремих розподілів

Медіани певних типів розподілів можна легко розрахувати за допомогою їх параметрів; крім того, цей розрахунок існує навіть для деяких розподілів, яким бракує можливості добре визначити середнє, наприклад для розподілу Коші:

• Медіана симетричного унімодального розподілу збігається із модою.
• Медіана ^[en], який має середнє значення μ також приймає значення μ.
  • Медіана нормального розподілу із середнім μ і дисперсією σ² дорівнює μ. Насправді для нормального розподілу дійсним є те, що середнє = медіані = моді.
  • Медіана рівномірного розподілу у інтервалі [a, b] дорівнює (a + b) / 2, що також є середнім значенням.
• Медіана розподілу Коші із параметром локації x₀ і параметром масштабу y дорівнює x₀, параметру локації.
• Медіана експоненційного розподілу із (коефіцієнтом норми) λ дорівнює натуральному логарифму по 2 розділеному на коефіцієнт норми: λ⁻¹ln 2.
• Медіана розподілу Вейбула із параметром форми k і параметром масштабу λ дорівнює λ(ln 2)^1/k.

Сукупності

Властивість оптимальності

Середня абсолютна похибка дійсної змінної c відносно випадкової величини X визначається як:

${\displaystyle E(\left|X-c\right|)\,}$

За умови, що розподіл імовірностей величини X є таким, що вищенаведене сподівання існує, тоді m є медіаною величини X тоді і тільки тоді, коли m мінімізує середню абсолютну похибку відносно X. Зокрема, m є вибірковою медіаною, тоді і лише тоді, коли m мінімізує арифметичне середнє абсолютне відхилення.

У більш загальному випадку, медіана визначається як мінімум наступного виразу

${\displaystyle E(|X-c|-|X|),}$

Це визначення медіани на основі оптимізації є корисним у статистичному аналізі даних, наприклад, у кластеризації k-медіан.

Одномодальні розподіли

Порівняння середнього, медіані і моди двох Логнормальних розподілів із різним коефіцієнтом асиметрії.

Для випадку із одномодальним розподілом можна показати що медіана ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ і середнє ${\displaystyle {\bar {X}}}$ знаходяться не далі ніж на величину (3/5)^1/2 ≈ 0.7746 стандартних відхилень одне від одного. У символьній формі це виглядає так:

${\displaystyle {\frac {\left|{\tilde {X}}-{\bar {X}}\right|}{\sigma }}\leq \left({\frac {3}{5}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

де |·| це абсолютне значення.

Аналогічне відношення існує для медіани і моди: вони знаходяться в межах 3^1/2 ≈ 1.732 стандартних відхилень одна від одної:

${\displaystyle {\frac {|{\tilde {X}}-\mathrm {mode} |}{\sigma }}\leq 3^{\frac {1}{2}}.}$

Нерівність, що пов'язує середнє значення і медіану

Якщо розподіл має скінченну дисперсію, тоді відстань між медіаною і середнім обмежена величиною одного стандартного відхилення.

Ця межа була доведена, за допомогою подвійного використання нерівності Єнсена, як наведено далі. Маємо

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mu -m|=|\operatorname {E} (X-m)|&\leq \operatorname {E} (|X-m|)\\&\leq \operatorname {E} (|X-\mu |)\\&\leq {\sqrt {\operatorname {E} \left((X-\mu )^{2}\right)}}=\sigma .\end{aligned}}}$

Перша і третя нерівність були отримані з нерівності Єнсена, що застосована до функції із абсолютним значенням і квадратичної функції, кожна з яких є опуклою. Друга нерівність отримана з факту, що медіана мінімізує функцію абсолютного відхилення

${\displaystyle a\mapsto \operatorname {E} (|X-a|).\,}$

Також доведення можна отримати із ^[en]. Цей результат можна узагальнити аби отримати мультиваріативний варіант нерівності, наступним чином:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|\mu -m\|=\|\operatorname {E} (X-m)\|&\leq \operatorname {E} \|X-m\|\\&\leq \operatorname {E} (\|X-\mu \|)\\&\leq {\sqrt {\operatorname {E} \left(\|X-\mu \|^{2}\right)}}={\sqrt {\operatorname {trace} \left(\operatorname {var} (X)\right)}}\end{aligned}}}$

де m є просторовою медіаною, яка мінімізує функцію ${\displaystyle a\mapsto \operatorname {E} (\|X-a\|).\,}$ Просторова медіана є унікальною коли два або більшу кількість вимірів вибірки. В аналогічному доведенні використовують односторонню нерівність Чебишова; вона з'являється у нерівності параметрів розташування і масштабу розподілу.

Медіана як об'єктивний оцінювач

Гаус зауважив, що будь-який об'єктивний оцінювач мінімізує ризик (очікувану втрату) відносно функції помилкової втрати. На думку Лапласа, медіана, як об'єктивний оцінювач мінімізує ризик відносно функції втрати абсолютного відхилення. Інші функції втрати застосовують в статистичній теорії, особливо при перевірці статистичної надійності. Теорію об'єктивного оцінювача, започаткував Джордж Браун в 1947 році.

Оцінка одного розмірного параметра θ, буде об'єктивним оцінювачем для медіани, якщо, для сталої θ, медіана поширення оцінки знаходиться в значенні θ , тобто, відхилення трапляються не так часто.

Подальші властивості медіани, як об'єктивного оцінювача були досліджені. Зокрема, медіана, як об'єктивний оцінювач існує у випадках, де неможливо максимуму імовірності. Медіани, як об'єктивні оцінювачі інваріантні під один-до-одного, перетвореннями.

Примітки

1. . Архів оригіналу за 4 травня 2014. Процитовано 23 листопада 2010.
2. Медіана [ 4 травня 2014 у Wayback Machine.] — Розум.org.ua
3. Козлов М. В., Прохоров А. В. (1987). Введение в математическую статистику. Изд-во МГУ.
4. Кремер Н. Ш. (2004). Теория вероятностей и математическая статистика. Юнити. ISBN .
5. Weisstein, Eric W. Statistical Median(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
6. Simon, Laura J.; "Descriptive statistics" [ 2010-07-30 у Wayback Machine.], Statistical Education Resource Kit, Pennsylvania State Department of Statistics
7. . amstat.org. Архів оригіналу за 14 жовтня 2008. Процитовано 21 червня 2018.
8. Stigler, S. M. (1986). The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty Before 1900. Harvard University Press. .
9. Jaynes, E.T. (2007). Probability theory: the logic of science (5. print. ed.). Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press. p. 172. .
10. Laplace PS de (1818) Deuxième supplément à la Théorie Analytique des Probabilités, Paris, Courcier.
11. Keynes, J.M. (1921) A Treatise on Probability. Pt II Ch XVII § 5 (p 201) (2006 reprint, Cosimo Classics,  : multiple other reprints).
12. Galton F (1881) «Report of the Anthropometric Committee» pp 245–260. Report of the 51st Meeting of the British Association for the Advancement of Science.
13. Гмурман В. Е. (2003). Теория вероятностей и математическая статистика (вид. 9-те). Высшая школа.
14. . Архів оригіналу за 2 квітня 2015. Процитовано 16 березня 2015.
15. Stroock, Daniel (2011). Probability Theory. Cambridge University Press. с. 43. ISBN .
16. . siam.org. Архів оригіналу за 29 квітня 2019. Процитовано 22 червня 2018.
17. Mallows, Colin (August 1991). Another comment on O'Cinneide. The American Statistician. 45 (3): 257. doi:10.1080/00031305.1991.10475815.
18. (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 2 лютого 2017. Процитовано 22 червня 2018.
19. Piché, Robert (2012). Random Vectors and Random Sequences. Lambert Academic Publishing. ISBN .
20. Kemperman, Johannes H. B. (1987). Dodge, Yadolah (ред.). The median of a finite measure on a Banach space: Statistical data analysis based on the L1-norm and related methods. Papers from the First International Conference held at Neuchâtel, August 31–September 4, 1987. Amsterdam: North-Holland Publishing Co.: 217—230. MR 0949228.
21. Milasevic, Philip; Ducharme, Gilles R. (1987). Uniqueness of the spatial median. . 15 (3): 1332—1333. doi:10.1214/aos/1176350511. MR 0902264.
22. Brown, George W. (1947). «On Small-Sample Estimation». Annals of Mathematical Statistics 18 (4): 582–585. doi:10.1214/aoms/1177730349. JSTOR 2236236.
23. Lehmann, Erich L. (1951). «A General Concept of Unbiasedness». Annals of Mathematical Statistics 22 (4): 587–592. doi:10.1214/aoms/1177729549.JSTOR 2236928.
24. Birnbaum, Allan (1961). «A Unified Theory of Estimation, I». Annals of Mathematical Statistics 32 (1): 112–135. doi:10.1214/aoms/1177705145. JSTOR 2237612.
25. van der Vaart, H. Robert (1961). «Some Extensions of the Idea of Bias». Annals of Mathematical Statistics 32 (2): 436–447. doi:10.1214/aoms/1177705051.JSTOR 2237754. MR 125674.
26. Pfanzagl, Johann; with the assistance of R. Hamböker (1994). Parametric Statistical Theory. Walter de Gruyter. . MR 1291393.

Див. також

• Квантиль

Посилання

• Statistical Median. [ 30 листопада 2020 у Wayback Machine.] на MathWorld(англ.)