Логіка Лукашевича

Логіка Лукашевича — багатозначна логіка, як спочатку була визначена Яном Лукашевичем як тризначна логіка, а потім узагальнена до скінченної n-значної логіки, та до нескінченної дійснозначної логіки як для числення висловлень та логіки першого порядку.

Операціями логіки Лукашевича є:

імплікація ${\displaystyle \rightarrow }$

заперечення ${\displaystyle \neg }$

еквівалентність ${\displaystyle \leftrightarrow }$

слаба кон'юнкція ${\displaystyle \wedge }$

сильна кон'юнкція ${\displaystyle \otimes }$

слаба диз'юнкція ${\displaystyle \vee }$

сильна диз'юнкція ${\displaystyle \oplus }$

та константи ${\displaystyle {\overline {0}}}$ та ${\displaystyle {\overline {1}}}$.

Наявність слабої та сильної кон'юнкції та диз'юнкції є загальною рисою всіх підструктурних логік без правила скорочення, до яких належить логіка Лукашевича.

Аксіоми

Початкова система аксіом для нескінченно-значної логіки висловлень Лукашевича використовувала імплікацію та заперечення як основні логічні операції:

${\displaystyle ~A\rightarrow (B\rightarrow A)}$

${\displaystyle ~(A\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))}$

${\displaystyle ~((A\rightarrow B)\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow A)\rightarrow A)}$

${\displaystyle ~(\neg B\rightarrow \neg A)\rightarrow (A\rightarrow B).}$

Дійснозначний випадок

У дійснозначній логіці Лукашевича логічними значеннями є дійсні числа від 0 до 1. Операції визначаються як функції:

• Імплікація: ${\displaystyle F_{\rightarrow }(x,y)=\min\{1,1-x+y\}}$
• Еквівалентність: ${\displaystyle F_{\leftrightarrow }(x,y)=1-|x-y|}$
• Заперечення: ${\displaystyle F_{\neg }(x)=1-x}$
• Слабка кон'юнкція: ${\displaystyle F_{\wedge }(x,y)=\min\{x,y\}}$
• Слабка диз'юнкція: ${\displaystyle F_{\vee }(x,y)=\max\{x,y\}}$
• Сильна кон'юнкція: ${\displaystyle F_{\otimes }(x,y)=\max\{0,x+y-1\}}$
• Сильна диз'юнкція: ${\displaystyle F_{\oplus }(x,y)=\min\{1,x+y\}.}$